Як вирішити раціональне рівняння
Редагувати користувачем Maluniu, Arina.Iv, Bmalov і ще одним іншим
Якщо вам дано вираз з дробами зі змінною в чисельнику або знаменнику, то такий вираз називається раціональним рівнянням. Раціональне рівняння - будь-яке рівняння, яке включає в себе не менше 1 раціонального виразу. Вирішуються раціональні рівняння так само, як будь-які рівняння: виконуються ті ж операції з обох сторін рівняння, поки змінна не відокремлюється на одній стороні рівняння. Тим не менш, є 2 методи вирішення раціональних рівнянь.
Кроки
Метод 1 з 2: Множення навхрест
1
При необхідності перепишіть дане вам рівняння так, щоб на кожній його стороні знаходилася одна дріб (одне раціональне вираз) - тільки в цьому випадку ви зможете скористатися методом множення хрест-навхрест.- Наприклад, дано рівняння (x + 3) / 4 - x / (- 2) = 0. Перенесіть дріб x / (- 2) на праву сторону рівняння, щоб записати рівняння в належному вигляді: (x + 3) / 4 = x / (- 2).
- Майте на увазі, що десяткові і цілі числа можуть бути представлені у вигляді дробів, якщо поставити в знаменнику 1. Наприклад, (х + 3) / 4 - 2,5 = 5 можна переписати у вигляді (х + 3) / 4 = 7 , 5/1-це рівняння можна вирішити за допомогою множення хрест-навхрест.
- Якщо ви не можете переписати рівняння в потрібному вигляді, дивіться наступний розділ.
- Наприклад, дано рівняння (x + 3) / 4 - x / (- 2) = 0. Перенесіть дріб x / (- 2) на праву сторону рівняння, щоб записати рівняння в належному вигляді: (x + 3) / 4 = x / (- 2).
2
Множення хрест-навхрест. Помножте чисельник лівої дробу на знаменник правої. Повторіть це з чисельником правої дроби і знаменником лівої.- Множення навхрест засноване на основних алгебраїчних принципах. В раціональних виразах та інших дробах можна позбутися чисельника, відповідно перемноживши чисельники і знаменники двох дробів.
3
Прирівняти отримані вирази і спростите їх.- Наприклад, дано раціональне рівняння: (х +3) / 4 = х / (- 2). Після перемноження навхрест воно записується у вигляді: -2 (х +3) = 4x або -2х 2 червня = 4х
4
Вирішіть отримане рівняння, тобто знайдіть «х». Якщо «х» знаходиться з обох сторін рівняння, обособьте його на одній стороні рівняння.- У нашому прикладі ви можете розділити обидві сторони рівняння на (-2) і отримаєте: х + 3 = -2x. Перенесіть члени зі змінною «х» на одну сторону рівняння і отримаєте: 3 = -3х. Потім розділіть обидві частини на -3, щоб отримати результат: х = -1.
Метод 2 з 2: Найменший спільний знаменник (НСЗ)
1
Найменший спільний знаменник використовується для спрощення даного рівняння. Цей метод застосовується в тому випадку, коли ви не можете записати дане рівняння з одним раціональним виразом на кожній стороні рівняння (і скористатися методом множення навхрест). Цей метод використовується, коли вам дано раціональне рівняння з 3 або більше дробом (у випадку двох дробів краще застосувати множення навхрест).
2
Знайдіть найменший спільний знаменник дробів (або найменше спільне кратне). НСЗ - це найменше число, яке ділиться без остачі на кожен знаменник.- Іноді НСЗ - очевидне число. Наприклад, якщо дано рівняння: х / 3 + 1/2 = (3x +1) / 6, то очевидно, що найменшим спільним кратним для чисел 3, 2 і 6 буде 6.
- Якщо НСЗ не очевидний, випишіть кратні найбільшого знаменника і знайдіть серед них такий, який буде кратним і для інших знаменників. Найчастіше НСЗ можна знайти, просто перемноживши два знаменника. Наприклад, якщо дано рівняння x / 8 + 2/6 = (x - 3) / 9, то НСЗ = 8 * 9 = 72.
- Якщо один або кілька знаменників містять змінну, то процес дещо ускладнюється (але не стає неможливим). У цьому випадку НСЗ являє собою вираз (містить змінну), яке ділиться на кожен знаменник. Наприклад, в рівнянні 5 / (х-1) = 1 / х + 2 / (3x) НСЗ = 3x (х-1), тому що цей вираз ділиться на кожен знаменник: 3x (х-1) / (х-1 ) = 3x- 3x (х-1) / 3х = (х-1) - 3x (х-1) / х = 3 (х-1).
3
Помножте і чисельник, і знаменник кожного дробу на число, що дорівнює результату поділу НСЗ на відповідний знаменник кожного дробу. Так як ви примножуєте і чисельник, і знаменник на одне і теж число, то фактично ви примножуєте дріб на 1 (наприклад, 2/2 = 1 або 3/3 = 1).- Таким чином, у нашому прикладі помножте х / 3 на 2/2, щоб отримати 2x / 6, і 1/2 помножте на 3/3, щоб отримати 3/6 (дріб 3x +1/6 множити не треба, так як її знаменник дорівнює 6).
- Дійте аналогічно у випадку, коли змінна знаходиться в знаменнику. У нашому другому прикладі НСЗ = 3x (x-1), тому 5 / (x-1) помножте на (3x) / (3x) та отримайте 5 (3x) / (3x) (x-1) - 1 / x помножте на 3 (x-1) / 3 (x-1) і отримаєте 3 (x-1) / 3x (x-1) - 2 / (3x) помножте на (x-1) / (x-1) і отримаєте 2 (x-1) / 3x (x-1).
4
Знайдіть х. Тепер, коли ви привели дроби до спільного знаменника, ви можете позбутися від знаменника. Для цього помножте кожну сторону рівняння на спільний знаменник. Потім вирішіть отримане рівняння, тобто знайдіть «х». Для цього обособьте змінну на одній зі сторін рівняння.- У нашому прикладі: 2x / 6 + 3/6 = (3x +1) / 6. Ви можете скласти 2 дроби з однаковим знаменником, тому запишіть рівняння як: (2x + 3) / 6 = (3x + 1) / 6. Помножте обидві частини рівняння на 6 і позбудьтеся від знаменників: 2x + 3 = 3x +1. Вирішіть і отримаєте х = 2.
- У нашому другому прикладі (зі змінною в знаменнику) рівняння має вигляд (після приведення до спільного знаменника): 5 (3x) / (3x) (x-1) = 3 (x-1) / 3x (x-1) + 2 (x-1) / 3x (x-1). Помноживши обидві сторони рівняння на НСЗ, ви позбудетеся від знаменника і отримаєте: 5 (3x) = 3 (х-1) + 2 (х-1), або 15x = 3x - 3 + 2x -2, або 15х = х - 5 . Вирішіть і отримаєте: х = -5/14.
Поради
- Знайшовши «х», перевірте свою відповідь, підставивши значення «х» у вихідне рівняння. Якщо відповідь правильна, ви зможете спростити вихідне рівняння до простого висловом, наприклад, 1 = 1.
- Зверніть увагу, що ви можете записати будь многочлен як раціональне вираз, просто розділивши його на 1. Так х +3 і (х +3) / 1 мають однакове значення, але останній вираз вважається раціональним виразом, тому що записано у вигляді дробу.
