Як працювати з еквівалентними дробом

Дві дробу еквівалентні, якщо вони мають однакове значення. Дробу 1/2 і 2/4 еквівалентні, оскільки значення 1 ділити на 2 дорівнює значенню 2 ділити на 4 або 0,5 у вигляді десяткового дробу. Перетворення дробів в еквівалентні дробу корисно при проведенні звичайних і складних обчислень. Ця стаття розповість вам, як отримувати еквівалентні дробу через поділ і множення, а також про те, як вирішувати рівняння з еквівалентними дробом.




Метод 1 з 5: Отримання еквівалентних дробів

  1. 1

    Помножте чисельник і знаменник на одне і те ж число. У двох еквівалентних дробів числители діляться один на одного без остачі, і знаменники діляться один на одного без остачі (при цьому ви повинні отримати одне число). Іншими словами, помноживши чисельник і знаменник якої-небудь дробу на одне і те ж число, ви отримаєте еквівалентну дріб (значення вихідної і отриманої дробів будуть однаковими).
    • Наприклад, дана дріб 4/8. Помножте чисельник і знаменник на 2 і отримаєте: (4? 2) / (8? 2) = 8/16. Ці дві дробу еквівалентні.
    • (4? 2) / (8? 2) = 4/8? 2/2. Пам`ятайте, що при множенні двох дробів потрібно перемножити їх чисельники, а потім перемножити їх знаменники.
    • Зверніть увагу, що 2/2 = 1. Таким чином, 4/8 і 8/16 - це еквівалентні дробу, так як множачи 4/8 на 1 (2/2 = 1), значення дробу не змінюється. Тому 4/8 = 8/16.
    • Будь дріб має нескінченне число еквівалентних дробів. Ви можете помножити чисельник і знаменник на будь-яке ціле число, щоб отримати еквівалентну дріб.

  2. 2

    Розділіть чисельник і знаменник на одне і те ж число. Аналогічно множенню, операція ділення також може бути використана для того, щоб отримати нову дріб, яка буде еквівалентна вихідної дробу. Для цього розділіть чисельник і знаменник на одне і те ж число (чисельник і знаменник повинні ділитися на це число без залишку, і в чисельнику і знаменнику повинні бути цілі числа).
    • Наприклад, дана дріб 4/8. Якщо замість множення ви розділите чисельник і знаменник на 2, то отримаєте: (4? 2) / (8? 2) = 2/4. 2 і 4 - цілі числа, тому дріб 2/4 еквівалентна дробу 4/8.

Метод 2 з 5: Використання операції множення для визначення еквівалентності

  1. 1

    Якщо вам дана задача на визначення еквівалентності двох дробів, то знайдіть число, на яке потрібно помножити менший знаменник, щоб отримати більший знаменник. Так ви приведете дроби до спільного знаменника.
    • Наприклад, дані дроби 4/8 і 8/16. Менший знаменник 8 ви примножуєте на 2 і отримуєте більший знаменник 16. Таким чином, шукане число в даному прикладі - це число 2.
    • Для полегшення знаходження потрібного числа просто розділіть більший знаменник на менший знаменник. У цьому випадку 16/8 = 2.
    • Число не обов`язково буде цілим. Наприклад, якщо знаменники рівні 2 і 7, то число дорівнює 3,5.

  2. 2

    Помножте чисельник і знаменник менший дробу (з меншим знаменником) на знайдене число. Якщо в результаті ви отримаєте велику дріб (з великим знаменником), то дані дроби еквівалентні.
    • У нашому прикладі помножте меншу дріб 4/8 на знайдене число 2: (4 х 2) / (8 х 2) = 8/16. Ви отримали велику дріб, тому дані дроби 4/8 і 8/16 є еквівалентними.

Метод 3 з 5: Використання операції ділення для визначення еквівалентності

  1. 1

    Висловіть кожну дріб у вигляді десяткового дробу, щоб визначити їх еквівалентність. Для цього просто розділіть чисельник дробу на її знаменник.
    • Наприклад, дані дроби 4/8 і 8/16. 4/8 = 0,5- 8/16 = 0,5. Так як дві десяткові дроби рівні, то вихідні дробу еквівалентні.
    • Пам`ятайте, що в десяткового дробу після десяткової коми може стояти нескінченної число цифр. Це треба враховувати при визначенні еквівалентності. Наприклад, 1/3 = 0,333, а 3/10 = 0,3. Таким чином, дробу 1/3 і 3/10 не є еквівалентними.

  2. 2

    Розділіть чисельник і знаменник дробу на одне і те ж число, щоб отримати еквівалентну дріб. При цьому і в чисельнику, і в знаменнику повинні знаходитися цілі числа.
    • Наприклад, дана дріб 4/8. Якщо замість множення ви розділите чисельник і знаменник на 2, то отримаєте (4? 2) / (8? 2) = 2/4. 2 і 4 є цілими числами, тому дріб 2/4 еквівалентна дробу 4/8.

  3. 3

    Спростите дріб, розділивши чисельник і знаменник на найбільший спільний дільник (НСД). Це найбільше число, на яке можна розділити і чисельник і знаменник. Цей крок повинен привести дві дробу до найменшого спільного знаменника (тільки якщо дробу еквівалентні).
    • При спрощення дробу ви отримаєте дріб з найменшими можливими чисельником і знаменником. Чисельник і знаменник не можуть бути розділені на будь-яке ціле число-їх необхідно ділити на їх НСД.

    • У нашому прикладі (дріб 4/8) НОД = 4, так як 4 - це найбільше число, яке ділить 4 і 8 без залишку. Щоб спростити дріб, розділіть чисельник і знаменник на 4: (4? 4) / (8? 4) = 1/2. Аналогічно, у разі дробу 8/16 НОД = 8 і: (8? 8) / (16? 8) = 1/2.

Метод 4 з 5: Використання множення навхрест для знаходження змінної

  1. 1

    Множення навхрест використовується в задачах з двома еквівалентними дробом, одне з чисел в яких замінено на змінну (зазвичай «х») - цю змінну необхідно знайти. Так як дробу еквівалентні, то їх можна прирівняти (поставити між ними знак рівності) і знайти змінну за допомогою множення хрест-навхрест.

  2. 2

    При множенні навхрест потрібно помножити чисельник першого дробу на знаменник другого дробу, а потім помножити чисельник другого дробу на знаменник першої дробі- між результатами перемноження поставте знак рівності.
    • Наприклад, дано дві дробу 4/8 і 8/16. Вони не містять змінну, але використовуємо множення навхрест, щоб перевірити їх еквівалентність: 4 х 16 = 8 х 8 або 64 = 64. Таким чином, ці дроби еквівалентні (якщо рівність не зберігається, то дробу не є еквівалентними).

  3. 3

    Введіть змінну в одну з еквівалентних дробів, щоб за допомогою множення навхрест знайти її.
    • Наприклад, розглянемо рівняння 2 / х = 10/13. Помножте 2 на 13 і 10 на «х», а потім прирівняти результати один одному:
      • 2? 13 = 26
      • 10? x = 10x
      • 10x = 26. Розділіть обидві частини рівняння на 10 і отримаєте х = 26/10 = 2,6.

  4. 4

    Множення навхрест працює з будь-якими дробом, включаючи дроби зі складними виразами. Наприклад, якщо обидві дробу містять змінні, в процесі обчислень їх необхідно сократіть- якщо ж чисельник або знаменник даних дробів містять вирази (наприклад, х + 1), то при множенні навхрест необхідно розкрити дужки (перемноживши число за дужками і кожен член виразу в дужках) і вирішити отримане рівняння стандартним способом.


    • Наприклад, розглянемо рівняння ((х + 3) / 2) = ((х + 1) / 4).
      • (X + 3)? 4 = 4x + 12
      • (X + 1)? 2 = 2x + 2
      • 2x + 2 = 4x + 12. Перенесіть 2х на праву сторону рівняння.
      • 2 = 2x + 12. Тепер перенесіть 12 на ліву сторону рівняння.
      • -10 = 2x. Розділіть на 2 обидві сторони рівняння.
      • -5 = х

Метод 5 з 5: Використання формули для знаходження коренів квадратного рівняння

  1. 1

    Цей метод також починається з множення хрест-навхрест, яке може призвести до того, що ви отримаєте змінну в другому ступені (в квадраті). У таких випадках, можливо, буде потрібно використовувати такі методи, як розкладання квадратного рівняння на множники або рішення квадратного рівняння за допомогою формули.
    • Наприклад, розглянемо рівняння ((x +1) / 3) = (4 / (2x - 2)). Помножте навхрест:
      • (X + 1)? (2x - 2) = 2x + 2x -2x - 2 = 2x - 2
      • 4? 3 = 12
      • 2x - 2 = 12.

  2. 2

    Висловіть отримане рівняння у вигляді квадратного рівняння (ax + bx + c = 0), прирівнявши рівняння до нуля. У нашому прикладі перенесіть 12 на ліву сторону рівняння і отримаєте 2x - 14 = 0.
    • Деякі члени можуть дорівнювати 0. Хоча 2x - 14 = 0 є найпростішою формою квадратного рівняння, його можна записати у вигляді 2x + 0х + (-14) = 0. Це, ймовірно, допоможе на ранній стадії, щоб записати рівняння в стандартній формі квадратного рівняння, навіть якщо деякі члени 0.

  3. 3

    Розв`яжіть рівняння, підставивши числа з квадратного рівняння у формулу для обчислення коренів квадратного рівняння. Формула: x = (-b +/- v (b - 4ac)) / 2a) допоможе знайти значення «х». У цю формулу підставте відповідні числа з рівняння, отриманого в кроці 2.
    • x = (-b +/- v (b - 4ac)) / 2a. У нашому прикладі 2x - 14 = 0, a = 2, b = 0, c = -14.
    • x = (-0 +/- v (0 - 4 (2) (- 14))) / 2 (2)
    • x = (+/- v (0 - -112)) / 2 (2)
    • x = (+/- v (112)) / 2 (2)
    • x = (+/- 10,58 / 4)
    • x = +/ - 2,64

  4. 4

    Перевірте відповідь, підставивши знайдені значення «х» у вихідне квадратне рівняння. У нашому прикладі підставте 2,64 і -2,64 у вихідне квадратне рівняння.

Поради

  • Перетворення дробів в еквівалентні дробу насправді є їх множенням на 1. При перетворенні 1/2 в 2/4, множення чисельника і знаменника на 2 насправді є множення 1/2 на 2/2, де 2/2 = 1.
  • Якщо необхідно перевірити еквівалентність змішаних чисел (наприклад, 1 3/4, 2 5/8, 5 2/3 і так далі), то спочатку їх необхідно перетворити в неправильні дроби. Якщо вам потрібно знайти еквівалентну дріб змішаного числа, то це можете зробити двома способами: перетворіть змішане число в неправильну дріб і скористайтеся методами, описаними в даній статье- або застосуйте методи, описані в цій статті, безпосередньо до змішаного числа.
    • Для перетворення змішаного числа в неправильну дріб помножте цілу частину змішаного числа на знаменник дробової частини, а потім складіть отриманий результат з чисельником дробової частини. Знаменник залиште без змін. Наприклад, 1 2/3 = ((1? 3) + 2) / 3 = 5/3. Потім знайдіть еквівалентну дріб: 5/3? 2/2 = 10 / 6- отримана дріб еквівалентна змішаного числа 1 2/3.
    • Якщо ви не хочете конвертувати змішане число в неправильну дріб, просто ігноруйте цілу частину змішаного числа і працюйте з його дробовою частиною. Наприклад, в змішаному числі 3 4/16 працюйте тільки з 4/16. 4/16? 4/4 = 1/4. Потім до отриманого результату припишіть цілу частину вихідного змішаного числа і отримаєте еквівалентну дріб: 3 1/4.

Попередження

  • Незважаючи на те, що при перемножуванні дробів і числители, і знаменники відповідно перемножуються, при додаванні і відніманні дробів знаменник залишається колишнім.
    • Наприклад, 4/8? 4/4 = 1/2. Але 4/8 + 4/4 = 4/8 + 8/8 = 12/8 = 1 1/2 або 3/2, тобто при додаванні ви отримаєте абсолютно інший результат.
  • Для отримання еквівалентних дробів ви примножуєте або ділите чисельник і знаменник на одне і те ж число-це вірно, так як в цьому випадку ви примножуєте або ділите всю дріб на 1 (2/2, 3/3 і так далі), що не міняє значення вихідної дробу. Цього не можна досягти при додаванні або відніманні дробів.