Як вирішити матрицю 2x3

Системою рівнянь називається набір з двох або більше рівнянь, які мають загальний набір невідомих і, отже, спільне рішення. Графіком системи лінійних рівнянь є дві прямі, а рішенням системи є точка перетину цих прямих. Для вирішення таких систем лінійних рівнянь корисно і зручно користуватися матрицями.

Кроки

Частина 1 з 2: Основи

1. 

   1

   Термінологія. Системи лінійних рівнянь складаються з різних компонентів. Мінлива позначається літерним символом (зазвичай x або y) і означає число, яке ви ще не знаєте і яке потрібно знайти. Постійної називається певне число, яке не міняє своє значення. Коефіцієнтом називається число, що стоїть перед змінною, тобто те число, на яке множиться змінна.
   • Наприклад, для лінійного рівняння 2x + 4y = 8, x і y є змінними, 8 є постійною, а числа 2 і 4 - коефіцієнтами.

2. 

   2

   Форма для системи лінійних рівнянь. Система лінійних алгебраїчних рівнянь (СЛАР) з двома змінними може бути записана наступним чином: ax + by = p, cx + dy = q. Будь-які постійні (p, q) можуть бути рівні нулю, але кожне з рівнянь повинно містити хоча б одну змінну (x, y).

3. 

   3

   Матричні вирази. Будь-яку СЛАР можна записати в матричній формі, а потім, використовуючи алгебраїчні властивості матриць, вирішити її. При запису системи рівнянь у формі матриці A являє собою коефіцієнти матриці, C являє постійні матриці і X позначається невідома матриця.
   • Наприклад, представлена вище СЛАР може бути переписана в наступній матричній формі: A x X = C.

4. 

   4

   Розширена матриця. Розширена матриця виходить шляхом переносу матриці вільних членів (постійних) в ліву частину. Якщо у вас є дві матриці, A і C, то розширена матриця буде виглядати наступним чином:
   • Наприклад, для наступної системи лінійних рівнянь:
     2x + 4y = 8
     x + y = 2
     Розширена матриця буде мати розмірність 2x3 і виглядати наступним чином:

Частина 2 з 2: Перетворення розширеної матриці для вирішення СЛАР

1. 

   1

   Елементарні операції. Ви можете виробляти певні операції над матрицею, отримуючи при цьому матрицю, еквівалентну оригінальною. Такі операції називаються елементарними. Наприклад, щоб вирішити матрицю 2x3 потрібно проводити операції з рядками, щоб привести матрицю до трикутного вигляду. Такими операціями можуть бути:
   • перестановка двох рядків.
   • множення рядка на число, відмінне від нуля.
   • множення рядка і додаток її до іншої.

2. 

   2

   Множення другого рядка на відмінне від нуля число. Якщо ви хочете отримати нуль у другому рядку, ви можете помножити рядок так, щоб це стало можливим.
   • Наприклад, якщо у вас матриця такого вигляду:
     
     
     Ви можете зберегти перший рядок і використовувати її для отримання нуля в другому рядку. Для цього необхідно спочатку помножити другий рядок на 2:





3. 

   3

   Помножте ще раз. Щоб отримати нуль для першого рядка, вам може знадобитися помножити ще раз, використовуючи аналогічні маніпуляції.
   • У наведеному прикладі необхідно помножити другий рядок на -1:
     
     
     Після множення матриця буде виглядати наступним чином:

4. 

   4

   Додайте перший рядок до другої. Складіть рядки, щоб отримати нуль на місці елемента першого шпальти і другого рядка.
   • У нашому прикладі складіть обидві рядки, щоб вийшло наступне:

5. 

   5

   Запишіть нову систему лінійних рівнянь для трикутної матриці. Після того, як ви отримали трикутну матрицю, ви можете знову перейти до СЛАР. Перший стовпець матриці відповідає невідомої змінної x, а другий відповідає невідомої змінної y. Третій стовпець відповідає вільному члену рівняння.
   • Для нашого прикладу, нова система лінійних рівнянь прийме вигляд:

6. 

   6

   Розв`яжіть рівняння для однієї із змінних. У новій СЛАР визначте, яку змінну найпростіше знайти і вирішите рівняння.
   • У нашому прикладі, зручніше вирішувати з кінця, тобто від останнього рівняння до першого, рухаючись знизу вгору. З другого рівняння ми легко можемо знайти рішення для y, оскільки ми позбулися x, так, y = 2.

7. 

   7

   Знайдіть другу невідому методом підстановки. Після того, як ви знайшли одну із змінних, ви можете підставити її в друге рівняння, щоб знайти другу змінну.
   • У нашому прикладі просто замініть y на 2 в першому рівнянні, щоб знайти невідому x:

Поради

• Елементи матриці зазвичай називають скалярами.
• Щоб вирішити матрицю 2x3, ви повинні виконувати елементарні операції над рядками. Ви не можете виконувати ці операції за стовпцями.