Як знайти визначник матриці 3Х3

Визначник матриці необхідний для знаходження оберненої матриці, а також застосовується при вирішенні деяких рівнянь, наприклад, у методі Крамера. Крім того, якщо визначник дорівнює 0, то рівняння, складові матрицю, лінійно залежні.

Кроки

  1. 1

    Нехай М - це матриця 3X3, а її визначник буде | M |.Приклад:
    a11a12a13153
    M=a21a22a23=247
    a31a32a33462

  2. 2

    Виберіть опорну рядок або стовпець. Вибір опорної рядка або стовпця є важливим кроком, і якщо ви вибрали правильно, то ви спростити і прискорити рішення задачі.
    • Зазвичай в якості опорної рядки вибирають перший рядок. Якщо матриця містить нульові елементи, то в якості опорної рядка або стовпця виберіть рядок або стовпець з найбільшою кількістю нульових елементів.
    • Існує правило знаків, що застосовується виключно до опорної рядку або стовпцю. Правило знаків наводиться нижче.
      (+) A11(-) A12(+) A13
      M=(-) A21(+) A22(-) A23
      (+) A31(-) A32(+) A33

  3. 3

    Виберіть перший елемент в опорній рядку або стовпці (перший опорний елемент) і викресліть інші елементи, що знаходяться з цим елементом в одному рядку і стовпці.



    • Обчисліть визначник матриці 2Х2, яка виходить при викреслення елементів (в попередньому кроці). Потім помножте визначник матриці 2Х2 на перший опорний елемент і його відповідний знак.
    • Якщо ви вибрали перший рядок в якості опорної, то для її першого елемента: (+) a11 * ((A22 * A33 ) - (A23 * A32 )) = 1 (4 * 2 - 7 * 6) = -34

  4. 4

    Виберіть другий елемент в опорній рядку або стовпці (другий опорний елемент) і викресліть інші елементи, що знаходяться з цим елементом в одному рядку і стовпці.
    • Обчисліть визначник матриці 2Х2, яка виходить при викреслення елементів (в попередньому кроці). Потім помножте визначник матриці 2Х2 на другий опорний елемент і його відповідний знак.


    • Якщо ви вибрали перший рядок в якості опорної, то для її другого елемента: (-) a12 * ((A21 * A33 ) - (A23 * A31 )) = (-) 5 (2 * 2 - 7 * 4) = 120

  5. 5

    Виберіть третій елемент в опорній рядку або стовпці (третій опорний елемент) і викресліть інші елементи, що знаходяться з цим елементом в одному рядку і стовпці.
    • Обчисліть визначник матриці 2Х2, яка виходить при викреслення елементів (в попередньому кроці). Потім помножте визначник матриці 2Х2 на третій опорний елемент і його відповідний знак.
    • Якщо ви вибрали перший рядок в якості опорної, то для її третього елемента: (+) a13 * ((A21 * A32 ) - (A22 * A31 )) = 3 (2 * 6 - 4 * 4) = -12

  6. 6

    Складіть отримані результати і ви знайдете визначник матриці 3Х3.| M | = -34 + 120 - 12 = 74

Поради

  • Цей метод поширюється на квадратні матриці будь-якого рангу.
  • Якщо ви вибираєте перший рядок в якості опорної рядки, то визначник дорівнює:

    | M | = a11* ((A22 * A33) - (A23* A32)) - A12* ((A21* A33) - (A23* A31)) + A13* ((A21* A32) - (A22* A31))
  • Якщо всі елементи опорної рядка або стовпця дорівнюють 0, то визначник також дорівнює 0.

Попередження

  • Чи не обчислюйте вручну визначник квадратних матриць, ранг яких більше 3.