Як вирішувати показові рівняння

Редагувати користувачем Maluniu, Arina.Iv, Okiseliova і ще 2 іншими

Показові рівняння - рівняння, у яких змінна (невідоме) коштує в показнику ступеня. На перший погляд їх дуже складно вирішувати, але це зовсім не так. Ця стаття розповість про способи вирішення показових рівнянь (як з використанням логарифмів, так і без них).




Метод 1 з 2: Рішення показових рівнянь без використання логарифмів

  1. 1

    Прочитайте наступні приклади. Іноді вам не потрібно використовувати логарифми для вирішення показових рівнянь. Нижче, на основі трьох прикладів, будуть представлені рішення показових рівнянь без використання логарифмів.
    • Приклад 1: 6 = 6
    • Приклад 2: 6 = 36
    • Приклад 3: 6 = 6

  2. 2

    Визначте змінну (невідоме). Перше, що ви повинні зробити - визначити змінну, яку необхідно знайти. Ваша мета - відокремити цю змінну на одній зі сторін рівняння.
    • Приклад 1: Мінлива у.
    • Приклад 2: Мінлива х.
    • Приклад 3: Мінлива у.

  3. 3

    Рівні підстави. Ступеня у рівних підстав (числа під ступенями) можна прирівняти один до одного. Тому, якщо ваші підстави рівні, просто прирівняти їх ступеня.
    • Приклад 1: 6 = 6.Ето найпростіший приклад вирішення показових рівнянь. Підстави "6" на обох сторонах рівняння рівні, тому беремо ступеня і ставимо знак рівності між ними: у = 3.

  4. 4

    Перетворіть рівняння (якщо це можливо). Якщо невідоме знаходиться в ступені над підставою на одній стороні рівняння, а з іншого боку рівняння варто просто число, з якого можна виділити рівне підставу, то ви можете перетворити таке рівняння і вирішити його.
    • Приклад 2: 6 = 36. Тут 36 = 6. Тому, для вирішення цього рівняння замініть 36 на 6 і перетворіть вихідне рівняння в: 6 = 6. Тепер ви можете вирішити це рівняння так само, як в прикладі 1: просто прирівнявши ступеня один до одного і записавши х = 2.

  5. 5

    Слідкуйте за порядком виконання операцій. При вирішенні показових рівнянь, як і при вирішенні лінійних рівнянь, необхідно враховувати порядок операцій: дужки і ступеня, множення і ділення, додавання і віднімання. При перенесенні змінних з одного боку рівняння на іншу ви будете виконувати порядок операцій у зворотному напрямку: віднімання, додавання, ділення, множення, ступеня, дужки.

  6. 6

    Перенесення вільних членів. Перенесіть всі вільні члени на одну сторону рівняння, таким чином обособив змінну. При цьому виконуйте зворотний порядок операцій: віднімання, додавання, ділення, множення, ступеня, дужки.
    • Запам`ятайте, що завжди обидві сторони рівняння множаться або діляться на яке-небудь число.
    • Приклад 3: 6 = 6. Тут, як і в прикладі 1, підстави "6" дорівнюють з обох сторін рівняння. Тому прирівняти ступеня і запишіть рівняння як 5 + у = 3. Це рівняння - звичайне лінійне рівняння, яке просто вирішується. Обособьте змінну у, перенісши вільні члени на одну сторону рівняння: у = 3-5, або у = -2.

  7. 7

    Ви вирішили вихідні рівняння.
    • Приклад 1: у = 3.
    • Приклад 2: х = 2.


    • Приклад 3: у = -2.

Метод 2 з 2: Рішення показових рівнянь з використанням логарифмів

  1. 1

    Прочитайте наступні приклади. Найчастіше використовують логарифми для позбавлення від ступенів та подальшого вирішення показових рівнянь. Нижче буде представлено рішення показового рівняння з використанням логарифмів.
    • Приклад: 6 = 32

  2. 2

    Визначте змінну (невідоме). Перше, що ви повинні зробити - визначити змінну, яку необхідно знайти. Ваша мета - відокремити цю змінну на одній зі сторін рівняння.
    • Приклад: Мінлива х.

  3. 3

    Слідкуйте за порядком виконання операцій. При вирішенні показових рівнянь, як і при вирішенні лінійних рівнянь, необхідно враховувати порядок операцій: дужки і ступеня, множення і ділення, додавання і віднімання. При перенесенні змінних з одного боку рівняння на іншу ви будете виконувати порядок операцій у зворотному напрямку: віднімання, додавання, ділення, множення, ступеня, дужки.

  4. 4

    Перенесення вільних членів. Перенесіть всі вільні члени на одну сторону рівняння, таким чином обособив змінну. При цьому виконуйте зворотний порядок операцій: віднімання, додавання, ділення, множення, ступеня, дужки.
    • Запам`ятайте, що завжди обидві сторони рівняння множаться або діляться на яке-небудь число.

  5. 5

    Позбавтеся від ступенів. Для цього використовуйте логарифми.
    • Для позбавлення від ступенів, необхідно взяти логарифм обох сторін рівняння. При цьому ступінь перетворюється на множник перед логарифмом: logb(X) = ylogb(X). Таким чином, змінна вже не знаходиться в показники ступеня і тому з нею можна проводити основні арифметичні дії до тих пір, поки вона не буде відособлена на одній зі сторін рівняння.
    • Приклад: 6 = 32. У цьому прикладі неможливо виділити рівні підстави (як у прикладі 2 у розділі "Рішення показових рівнянь без логарифмів"). Тому перемістіть х з показника ступеня через логарифмирование обох частин рівняння. Ви можете взяти логарифм по підставі 10 або по підставі 2 або натуральний логарифм обох сторін рівняння. У нашому прикладі візьмемо логарифм по підставі 10: log10(6) = log10(32).

  6. 6

    Дії з логарифмами. Існують правила для дій з логарифмами. Для вирішення показових рівнянь з використанням логарифмів ви повинні знати ці правила, а саме:
    • Додавання логарифмів двох чисел дорівнює логарифму добутку цих чисел: log2(X) + log2(Y) = log2(Xy).
    • Віднімання логарифмів двох чисел дорівнює логарифму приватного цих чисел: log3(4) - log3(5) = log3(4/5).
    • Множник перед логарифмом вноситься під знак логарифма в якості показника ступеня. З іншого боку, показник ступеня виноситься за знак логарифма як множник. Наприклад, 2log3(X) = log3(X). Це правило і застосовується при логарифмування обох частин рівняння для позбавлення від ступенів.
    • Приклад: Використовуючи ці правила, запишемо log10(6) = log10(32) як xlog10(6) = log10(32). Тепер розділимо обидві частини рівняння на log10(6) і отримаємо: x = [log10(32)] / [log10(6)].

  7. 7

    Ви знайшли рішення рівняння.
    • Приклад: x = [log10(32)] / [log10(6)]. Обчислюючи цей вираз за допомогою калькулятора, отримаємо х = 1,93.