Як знайти зворотну матрицю 3х3

Знаходження оберненої матриці розміром 3x3 вручну займає багато часу. У процесі потрібно вирішити кілька матричних рівнянь.

Кроки

Метод 1 з 2: Класичний спосіб

1. 

   1

   Знайдіть визначник матриці М, що позначається як det (М). Якщо визначник дорівнює нулю, то у даній матриці немає зворотної матриці.

2. 

   2

   Знайдіть транспоновану матрицю M. У транспонованою матриці переставлені елементи (i, j) і (j, i) (тобто рядки замінені на стовпці).

3. 

   3

   Знайдіть визначник кожної матриці розміром 2x2.

4. 

   4

   З визначників складіть матрицю так, як показано на малюнку і помножте кожен елемент матриці на відповідний знак (див. малюнок). Ви отримаєте приєднану матрицю, яку позначимо як Adj (M).

5. 

   5

   Знайдіть обернену матрицю, розділивши приєднану матрицю на визначник, знайдений в кроці 1.

6. 6

   Ви можете об`єднати ці кроки через транспозицию, скопіювавши перші два стовпці і рядки, і обчислення визначників матриць розміром 2х2. Визначник обчислюється три рази-якщо результати збігаються, то це знаменник (а знаки вже правильні).

Метод 2 з 2: векторного твору (алгебра Грассмана)

1. 1

   Нехай М - матриця розміром 3х3, а D - її визначник. Нехай c_i - вектори-стовпці M при i = 0..2.

2. 2

   Обчисліть D = c ^ c₁ ^ c₂, де «^» позначає векторний добуток.
   
   
   
   • Якщо D = 0, то зворотна матриця не існує.
   • В іншому випадку рядок i в M = (c_{(I + 1) mod 3} ^ c_{(I + 2) mod 3})) / D, де i = 0.2

Поради

• Цей спосіб можна застосовувати до матриць, які включають змінні або невідомі величина, наприклад, до алгебраїчної матриці M і її зворотній матриці M.
• Записуйте обчислення - в розумі знайти зворотну матрицю складно.
• Існують комп`ютерні програми, які вміють знаходити зворотну матрицю розміром до 30x30.
• Приєднана матриця - матриця, складена з алгебраїчних доповнень для відповідних елементів транспонованою матриці.
• Перевірте ваші обчислення, помноживши матрицю M на M. Ви повинні отримати: M * M = M * M = I. I - одинична матриця (головна діагональ включає тільки 1, а всі інші елементи - нулі).

Попередження

• Не у всіх матриць є зворотні матриці. Якщо визначник дорівнює нулю, то у матриці немає зворотної матриці (у формулі присутній поділ на визначник, а розподіл на нуль не допускається).