Як знайти зворотну матрицю

Матрична алгебра лежить в основі сучасних комп`ютерної графіки та проектування. Подібно до того, як звичайна алгебра має справу з дійсними числами, матрична алгебра описує дії і методи, що застосовуються до матричних і векторних рівнянь. Матриця - це набір чисел, розміщених у вигляді стовпців і рядків. Поняття оберненої матриці (званої також зворотним множником) подібно зворотному числу.




Метод 1 з 2: знаходження зворотної для матриці 2x2

  1. 1

    Переконайтеся, що ваша матриця квадратна. Матриця може мати зворотний лише в тому випадку, коли число її стовпців дорівнює кількості рядків. Якщо ж матриця не квадратна, для неї не існує оберненої матриці.

  2. 2

    Перевірте, щоб ваша матриця була 2x2. Якщо у вашій матриці 2 рядки і 2 шпальти, ви можете скористатися даним методом. Якщо ж число стовпців або рядків 3 або більше, керуйтеся Методом 2.

  3. 3

    Формула. Для знаходження зворотної матриці (множника) використовуйте наведену вище формулу.

  4. 4

    Обчисліть мінори. Нехай обраний елемент матриці знаходиться на перетині її i-го рядка і j-го стовпця. Тоді відповідний йому мінор дорівнює (-1) i + j det (ij), де det (ij) - детермінант матриці 2x2, отриманий при викреслення її i-го рядка і j-го стовпця, в яких знаходиться елемент з індексами i та j . Загальний детермінант матриці 2x2 має вигляд:

  5. 5

    Знайдіть детермінант вашої матриці. Детермінант - особливе число, яке може бути обчислено для будь квадратної матриці. Зазвичай він позначається прямими лініями по краях, так само як і абсолютне значення. Для знаходження детермінанта складіть мінори елементів матриці з першого рядка.

  6. 6

    Перевірте, чи не рівний детермінант нулю. Якщо його значення дорівнює 0, дана матриця не має зворотної.

  7. 7

    Знайдіть обернену матрицю. Для матриці 2x2, як можна побачити вище, це досить легко: просто змініть положення елементів a і d, перед елементами b і c поставте знак мінуса, і поділіть все на значення детермінанта.
    • Щоб дізнатися, як це робиться у більш складних випадках, дивіться Метод 2.

Метод 2 з 2: знаходження зворотної для матриці більш 2x2

  1. 1

    Переконайтеся, що ваша матриця квадратна. Матриця має зворотну лише в тому випадку, якщо число її рядків співпадає з кількістю стовпців. Якщо ваша матриця не є квадратної, для неї не існує оберненої матриці.

  2. 2

    Перевірте кількість рядків і стовпців у вашій матриці. Якщо вона містить 2 рядки і стільки ж стовпців, перед вами матриця 2x2, і ви можете скористатися методом, описаним вище. Якщо ж матриця містить 3 або більше рядків і стовпців, застосовуйте даний спосіб.
    • Візьмемо, наприклад, наступну матрицю:
      Матриця A квадратна з 3 рядками і 3 стовпцями, тому для неї треба використовувати даний метод.

  3. 3

    Обчисліть всі мінори вашої матриці. Нехай елемент лежить на перетині i-го рядка і j-го стовпця. Тоді відповідний йому мінор дорівнює (-1) i + j det (ij), де det (ij) - детермінант матриці, в якій пропущені i-й рядок і j-й стовпець.
    • У нашому прикладі мінори рівні:
      A11 = 5, A12 = -1, A13 = -7, A21 = -1, A22 = -7, A23 = -5, A31 = -7, A32 = 5, A33 = -1



  4. 4

    Знайдіть детермінант всієї матриці. Детермінант - це особливе число, яке можна обчислити для будь квадратної матриці. Зазвичай він позначається прямими лініями, як і абсолютне число. Для цього складіть мінори всіх елементів з першого рядка вашої матриці.
    • У нашому прикладі детермінант матриці дорівнює:
      A11 + A12 + A13 = 5-1-7 = -3

  5. 5

    Переконайтеся, що детермінант НЕ дорівнює 0. Якщо його значення 0, дана матриця не має зворотної.
    • Детермінант матриці з нашого прикладу не дорівнює 0 (його значення -3), тому можна продовжити.

  6. 6

    Побудуйте матрицю мінорів. Якщо детермінант НЕ дорівнює 0, створіть з обчислених раніше миноров матрицю.
    • У нашому прикладі матриця миноров виглядає так:

  7. 7

    Транспонується рядки і стовпці. Після побудови матриці миноров необхідно поміняти місцями рядки зі стовпцями, знайшовши таким чином транспоновану матрицю мінорів.
    • У нашому випадку транспонована матриця миноров має вигляд:

  8. 8

    Поділіть цю матрицю на детермінант. Після побудови транспонованою матриці поділіть кожен її елемент на значення детермінанта. В результаті ви отримаєте матрицю, зворотну початкової.
    • У нашому випадку зворотна матриця така:


Поради

  • Пам`ятайте, що матриця 2x2 має зворотну тільки в тому випадку, якщо ab - cd не дорівнює 0.
  • Правильність знайденої зворотної матриці може бути перевірена шляхом множення її на первісну (пряму) матрицю - в результаті повинна вийти одинична матриця.
  • Одинична матриця nxn - це матриця, діагональні елементи якої рівні 1, а всі інші елементи рівні 0.