Як знайти зворотну матрицю
Матрична алгебра лежить в основі сучасних комп`ютерної графіки та проектування. Подібно до того, як звичайна алгебра має справу з дійсними числами, матрична алгебра описує дії і методи, що застосовуються до матричних і векторних рівнянь. Матриця - це набір чисел, розміщених у вигляді стовпців і рядків. Поняття оберненої матриці (званої також зворотним множником) подібно зворотному числу.
Кроки
Метод 1 з 2: знаходження зворотної для матриці 2x2
1
Переконайтеся, що ваша матриця квадратна. Матриця може мати зворотний лише в тому випадку, коли число її стовпців дорівнює кількості рядків. Якщо ж матриця не квадратна, для неї не існує оберненої матриці.2
Перевірте, щоб ваша матриця була 2x2. Якщо у вашій матриці 2 рядки і 2 шпальти, ви можете скористатися даним методом. Якщо ж число стовпців або рядків 3 або більше, керуйтеся Методом 2.3
Формула. Для знаходження зворотної матриці (множника) використовуйте наведену вище формулу.4
Обчисліть мінори. Нехай обраний елемент матриці знаходиться на перетині її i-го рядка і j-го стовпця. Тоді відповідний йому мінор дорівнює (-1) i + j det (ij), де det (ij) - детермінант матриці 2x2, отриманий при викреслення її i-го рядка і j-го стовпця, в яких знаходиться елемент з індексами i та j . Загальний детермінант матриці 2x2 має вигляд:5
Знайдіть детермінант вашої матриці. Детермінант - особливе число, яке може бути обчислено для будь квадратної матриці. Зазвичай він позначається прямими лініями по краях, так само як і абсолютне значення. Для знаходження детермінанта складіть мінори елементів матриці з першого рядка.6
Перевірте, чи не рівний детермінант нулю. Якщо його значення дорівнює 0, дана матриця не має зворотної.7
Знайдіть обернену матрицю. Для матриці 2x2, як можна побачити вище, це досить легко: просто змініть положення елементів a і d, перед елементами b і c поставте знак мінуса, і поділіть все на значення детермінанта.- Щоб дізнатися, як це робиться у більш складних випадках, дивіться Метод 2.
Метод 2 з 2: знаходження зворотної для матриці більш 2x2
1
Переконайтеся, що ваша матриця квадратна. Матриця має зворотну лише в тому випадку, якщо число її рядків співпадає з кількістю стовпців. Якщо ваша матриця не є квадратної, для неї не існує оберненої матриці.2
Перевірте кількість рядків і стовпців у вашій матриці. Якщо вона містить 2 рядки і стільки ж стовпців, перед вами матриця 2x2, і ви можете скористатися методом, описаним вище. Якщо ж матриця містить 3 або більше рядків і стовпців, застосовуйте даний спосіб.- Візьмемо, наприклад, наступну матрицю:
Матриця A квадратна з 3 рядками і 3 стовпцями, тому для неї треба використовувати даний метод.
- Візьмемо, наприклад, наступну матрицю:
3
Обчисліть всі мінори вашої матриці. Нехай елемент лежить на перетині i-го рядка і j-го стовпця. Тоді відповідний йому мінор дорівнює (-1) i + j det (ij), де det (ij) - детермінант матриці, в якій пропущені i-й рядок і j-й стовпець.- У нашому прикладі мінори рівні:
A11 = 5, A12 = -1, A13 = -7, A21 = -1, A22 = -7, A23 = -5, A31 = -7, A32 = 5, A33 = -1
- У нашому прикладі мінори рівні:
4
Знайдіть детермінант всієї матриці. Детермінант - це особливе число, яке можна обчислити для будь квадратної матриці. Зазвичай він позначається прямими лініями, як і абсолютне число. Для цього складіть мінори всіх елементів з першого рядка вашої матриці.- У нашому прикладі детермінант матриці дорівнює:
A11 + A12 + A13 = 5-1-7 = -3
- У нашому прикладі детермінант матриці дорівнює:
5
Переконайтеся, що детермінант НЕ дорівнює 0. Якщо його значення 0, дана матриця не має зворотної.- Детермінант матриці з нашого прикладу не дорівнює 0 (його значення -3), тому можна продовжити.
6
Побудуйте матрицю мінорів. Якщо детермінант НЕ дорівнює 0, створіть з обчислених раніше миноров матрицю.- У нашому прикладі матриця миноров виглядає так:
7
Транспонується рядки і стовпці. Після побудови матриці миноров необхідно поміняти місцями рядки зі стовпцями, знайшовши таким чином транспоновану матрицю мінорів.- У нашому випадку транспонована матриця миноров має вигляд:
8
Поділіть цю матрицю на детермінант. Після побудови транспонованою матриці поділіть кожен її елемент на значення детермінанта. В результаті ви отримаєте матрицю, зворотну початкової.- У нашому випадку зворотна матриця така:
Поради
- Пам`ятайте, що матриця 2x2 має зворотну тільки в тому випадку, якщо ab - cd не дорівнює 0.
- Правильність знайденої зворотної матриці може бути перевірена шляхом множення її на первісну (пряму) матрицю - в результаті повинна вийти одинична матриця.
- Одинична матриця nxn - це матриця, діагональні елементи якої рівні 1, а всі інші елементи рівні 0.