Як привести матрицю до трикутного вигляду
Приведення матриці до трикутного вигляду є досить ефективним прийомом, який можна використовувати при геометричній інтерпретації різних векторів, вирішенні систем лінійних рівнянь і т.п.
Кроки
1
Трикутна форма матриці. Кажуть, що матриця має трикутну форму, якщо всі її члени нижче головної діагоналі рівні нулю.
2
Отже, почнемо з матриці довільного розміру. Не затримуйтесь на верхньому ряді, він залишається незмінним при подальших діях. Дивлячись на перший член кожного наступного ряду, визначайте, на яку величину необхідно помножити верхній ряд, щоб при його додаванні або відніманні з даними нижнім рядом на місці першого члена останнього вийшло нульове значення. У прикладі, зображеному на малюнку, видно, що Ряд 2 - Ряд 1 дає нуль у першому стовпці другого ряду, а Ряд 3 - 3 * Ряд 1 приносить нульове значення першого члена третього ряду.
3
Таким чином, після маніпуляцій з рядами матриці в кроці 2, матриця буде виглядати наступним чином. Як видно, вирахувавши з третього ряду другий, Ряд 3 - Ряд 2, ми отримаємо ще один нуль в третьому ряді.
4
У підсумку матриця виглядає наступним чином, будучи діагональної (всі члени нижче головної діагоналі мають нульові значення).
Поради
- Отриманий результат легко піддається геометричній інтерпретації: якщо весь нижній ряд складається з нулів, подивіться на розмір вашої матриці. Якщо матриця має розмір 3x3, вона відповідає трьом векторах в 3-вимірному просторі. У цьому випадку ряд, що повністю складається з нульових значень означає, що даний вектор лінійно залежний, так що його можна виразити через інші вектора матриці, і вектора перетинаються вздовж лінії. Якщо ні в одному ряду не можна отримати повністю нульові значення, це означає, що вектора є лінійно незалежними, і це означає, що система лінійних рівнянь або має єдине рішення (вектора перетинаються в єдиній точці), або не має рішень зовсім (вектора не перетинаються) .
- Даний метод можна застосовувати до матриць будь-якого розміру.
