Як вирішувати многочлени вищих порядків
Ця стаття розповість вам, як знайти всі раціональні корені і в деяких (сприятливих) випадках - ірраціональні або комплексні корені многочленів вищих порядків.
Кроки
1
Знайдіть найбільший спільний дільник (НСД). Наприклад, в многочлене 5x ^ 3 + 15x ^ 2 + 100x + 20 кожен коефіцієнт кратний 5. Тому цей многочлен можна спростити, винісши 5 за дужки: 5 (х ^ 3 + 3x ^ 2 + 20x + 4) - цей многочлен має такі ж коріння, як і многочлен х ^ 3 + 3x ^ 2 + 20x + 4.
2
Будь многочлен другого порядку (ступеня 2) може бути вирішене алгебраїчно. Розкладіть його на множники або використовуйте формулу для знаходження коренів многочлена другого порядку. Порада: обчисліть дискриминант (b ^ 2-4ac) і, якщо його значення позитивне, то існують два раціональних корня- якщо дискримінант дорівнює 0, то існує тільки один корень- якщо значення дискримінанта негативне, то корінням є комплексні числа (a + bi і a-bi). Аналогічно з рівняннями, які не можна розкласти на множники, що включають тільки раціональні числа: (a + bi) (a-bi) = a ^ 2 + b ^ 2.
3
Використовуйте правило знаків Декарта, щоб визначити максимальну кількість позитивних і негативних дійсних коренів.- Порахуйте число змін знаку (з позитивного на негативний). Наприклад, в х ^ 2 - х + 6 знак змінюється два рази-це означає, що даний многочлен має два або не має позитивних дійсних коренів (в даному випадку не має, так як корінням цього многочлена є комплексні числа).
- Замініть «х» на «-х»: (-х) ^ 2 - (-х) + 6 = х ^ 2 + х + 6. Порахуйте число змін знака або знайдіть число негативних дійсних коренів. Цей многочлен не має негативних дійсних коренів.
4
Проведіть тест на раціональні корені. Можливими раціональними коренями є P / Q, де P ділить вільний член, а Q ділить коефіцієнт при змінній вищого порядку. Поділіть многочлени за схемою Горнера для перевірки наявності раціональних коренів. Ділите многочлен як на позитивні, так і на негативні подільники (якщо тільки згідно з правилом знаків Декарта не існує ні позитивні, ні негативні дійсні корені).
5
Якщо ви думаєте, що у многочлена два кореня, знайдіть НОД многочлена і його першу похідну. Якщо НСД є коефіцієнтом, то коріння многочлена різні. Якщо ступінь НОД більше одиниці, то ви знайшли дільник, коріння якого є кратними корінням вихідного многочлена.
Поради
- При вирішенні многочленів записуйте його хід, а потім перевіряйте отриману відповідь.
- Існують формули для вирішення многочленів третього і четвертого порядків. Вони дуже складні і використовуються не часто (крім як на комп`ютері). Многочлени 5 і більшого порядку, як правило, нерозв`язні, тільки якщо вони не розкладаються на множники.
- Після знаходження якого-небудь кореня або подільника, розділіть на нього вихідний многочлен. Це спростить знаходження інших коренів. Наприклад, х ^ 3-1 має корінь х = 1 тому (х ^ 3-1) / (х-1) = х ^ 2 + х + 1 (цей многочлен другого ступеня легко вирішується). Це також простий спосіб перевірити ваше припущення. Якщо ви думаєте, що х = 3 є коренем вихідного многочлена, але він не ділиться на х-3 без залишку, то ви помилилися і х = 3 не є коренем.
- Є багато способів знайти корені многочленів. Багато хто з них застосовні до того чи іншого многочлену (щоб визначити який, потрібно застосувати кожен з цих способів). Тому корисно знати всі способи, щоб збільшити ймовірність рішення будь-якого многочлена.
- Коріння і рішення многочлена - це значення (я) змінної «х», при якому многочлен дорівнює нулю.
Попередження
- Використовуйте олівець!
- Двічі перевірте відповідь!
- Якщо відповідь - комплексне число, не забудьте, що їх завжди два. Наприклад, якщо корінь рівняння дорівнює х-3i, то коренем рівняння також є х + 3i.
- При розподілі за схемою Горнера не забудьте використовувати як позитивні, так і негативні подільники.
