Як вирішувати квадратні рівняння
Квадратним рівнянням називається таке рівняння, в якому найбільше значення ступеня змінної дорівнює 2. Існують три основні способи вирішення квадратних рівнянь: якщо можливо, розкласти квадратне рівняння на множники, використовувати формулу коренів квадратного рівняння або доповнити до повного квадрата. Хочете дізнатися, як же все це робиться? Читайте далі.
Кроки
Метод 1 з 3: Розкладання рівняння на множники
1
Складіть все схожі елементи і перенесіть в одну частину рівняння. Це і буде першим кроком, значення x при цьому повинно залишатися позитивним. Складіть або відніміть всі значення x, x і постійних, перенісши все в одну частину і залишивши 0 в інший. Ось як це робиться:- 2x - 8x - 4 = 3x - x =
- 2x + x - 8x -3x - 4 = 0
- 3x - 11x - 4 = 0
2
Розкладіть вираз на множники. Для цього потрібно використовувати значення x значення (3), постійні значення (-4), вони повинні перемножувати і утворювати -11. Ось як це зробити:- 3x має тільки два можливих множника: 3x і x- їх можна записати в дужках: (3x +/-?) (X +/-?) = 0.
- Далі, підставляючи множники 4, знайдемо комбінацію, при множенні дає -11x. Можна використовувати комбінацію 4 і 1, або 2 і 2, так як і те, і інше дає 4. Пам`ятайте, що значення повинні бути негативні, адже у нас -4.
- Спробуйте (3x +1) (x -4). При множенні отримуємо - 3x -12x + x -4. Поєднавши -12x і x, отримуємо середній член -11x, який ми і шукали. Квадратне рівняння розкладено на множники.
- Для прикладу, спробуємо не підходить комбінацію: (3x -2) (x +2) = 3x + 6x -2x -4. Об`єднавши, отримаємо 3x -4x -4. Хоча множники -2 і 2 при множенні дають -4, середній член не підходить, адже ми хотіли отримати -11x, а не -4x.
3
Прирівняти кожен вираз в дужках до нуля (Як окремі рівняння). Так ми знайдемо два значення x, при яких всі рівняння дорівнює нулю. Запишемо 3x +1 = 0 і x - 4 = 0.
4
Вирішуємо кожне рівняння окремо. У квадратному рівнянні x має два значення. Вирішуємо рівняння і записуємо значення x.Вот так:- 3x + 1 = 0 =
- 3x = -1 =
- 3x / 3 = -1/3
- x = -1/3
- x - 4 = 0
- x = 4
- x = (-1/3, 4)
Метод 2 з 3: Використання формули коренів квадратного рівняння
1
Об`єднайте всі члени і запишіть з одного боку рівняння. Збережіть значення x позитивним. Запишіть члени в порядку зменшення ступенів, таким чином член x пишеться першим, далі - x і потім постійна. Ось так:- 4x - 5x - 13 = x -5
- 4x - x - 5x - 13 +5 = 0
- 3x - 5x - 8 = 0
2
Запишіть формулу коренів квадратного рівняння: {-b +/- V (b - 4ac)} / 2a
3
Визначте значення a, b і c в квадратному рівнянні. Мінлива a - коефіцієнт члена x, b - члена x, c - постійна. Для рівняння 3x -5x - 8 = 0, a = 3, b = -5, і c = -8. Запишіть.
4
Підставте значення a, b і c в рівняння. Ось так:- {-b +/- V (b - 4ac)} / 2
- {- (- 5) +/- v ((-5) - 4 (3) (- 8))} / 2 (3) =
- {- (- 5) +/- v ((-5) - (-96))} / 2 (3)
5
Підрахуйте. Підставивши значення, спростите плюси і мінуси, перемножте або зведіть в квадрат залишилися члени. Ось так:- {- (- 5) +/- v ((-5) - (-96))} / 2 (3) =
- {5 +/- v (25 + 96)} / 6
- {5 +/- v (121)} / 6
6
Спростите квадратний корінь. Якщо число під знаком квадратного кореня - квадрат, отримаємо ціле число. Якщо ні - спростимо до найбільш простого значення кореня. Якщо число від`ємне, і ви впевнені, що воно має бути негативним, то коріння будуть складні. У цьому прикладі v (121) = 11. Запишемо, що x = (5 +/- 11) / 6.
7
Знайдемо позитивні і негативні рішення. Якщо ви видалили знак квадратного кореня, то можна продовжувати до тих пір, поки не знайдете позитивні і негативні значення x. Маючи (5 +/- 11) / 6, можна записати:- (5 + 11) / 6
- (5 - 11) / 6
8
Знайдете позитивні і негативні значення:- (5 + 11) / 6 = 16/6
- (5-11) / 6 = -6/6
9
Спростите. Для цього просто розділіть обидва на найбільший спільний дільник. Першу дріб ділите на 2, другу на 6, x знайдений.- 16/6 = 8/3
- -6/6 = -1
- x = (-1, 8/3)
Метод 3 з 3: Доповнення до повного квадрата
1
Перенесіть всі члени на одну сторону рівняння. a або x повинен бути позитивним. Це робиться так:- 2x - 9 = 12x =
- 2x - 12x - 9 = 0
- У цьому рівнянні a: 2, b: -12,c: -9.
2
Перенесіть член c на іншу сторону.:- 2x - 12x - 9 = 0
- 2x - 12x = 9
3
Розділіть обидві частини на коефіцієнт a або x. Якщо x не має коефіцієнта, то він дорівнює одиниці і цей крок можна пропустити. У нашому прикладі всі члени ділимо на 2, так:- 2x / 2 - 12x / 2 = 9/2 =
- x - 6x = 9/2
4
Розділіть b на 2, зведіть в квадрат і додайте до обох сторін. У нашому прикладі b: -6. Ось так:- -6/2 = -3 =
- (-3) = 9 =
- x - 6x + 9 = 9/2 + 9
5
Спростите обидві сторони. Зведіть в квадрат члени зліва і вийде (x-3) (x-3), або (x-3). Складіть члени праворуч і вийде 9/2 + 9, або 9/2 + 18/2, що дорівнює 27/2.
6
Вийміть квадратний корінь з обох частин. У першій: (x-3) отримаємо просто (x-3). Квадратний корінь і 27/2 можна записати як ± v (27/2). Таким чином, x - 3 = ± v (27/2).
7
Спростите подкоренное вираз. Щоб спростити ± v (27/2), знайдіть повний квадрат в числах 27 і 2 або їх множниках. У 27 є повний квадрат 9, адже 9 x 3 = 27. Щоб вивести 9 з під знака кореня, винесемо з нього корінь і запишемо 3 за знаком. Залишаємо 3 в числители дробу під знаком кореня, адже цей множник витягти не можна, залишаємо 2 знизу. Далі переносимо постійну 3 зліва направо, і записуємо два рішення x:- x = 3 + (v6) / 2
- x = 3 - (v6) / 2)
Поради
- Якщо число під знаком кореня не повний квадрат, то останні декілька кроків виконуються трохи інакше. Ось приклад:
- Як бачите, знак кореня не зник. Таким образ члени в чисельнику об`єднати не можна. Тоді немає сенсу розбивати плюс-або-мінус. Замість цього ми ділимо будь-які загальні множники --- але тільки якщо множник загальний для постійної і коефіцієнта кореня.
