Як спростити квадратний корінь
Спростити квадратний корінь зовсім не так складно, як може здатися. Потрібно просто розкласти число на множники і витягти з-під знака кореня повні квадрати. Запам`ятавши кілька найпоширеніших квадратів і навчившись розкладати число на множники, ви зможете запросто спрощувати квадратні корені.
Кроки
Метод 1 з 3: Розкладання на множники
1
Мета спрощення квадратного кореня - це переписати його в такій формі, яку простіше використовувати в обчисленнях. Розкладання числа на множники - це знаходження двох або декількох чисел, які при перемножуванні дадуть вихідне число, наприклад, 3 х 3 = 9. Знайшовши множники, ви зможете спростити квадратний корінь або взагалі позбутися від нього. Наприклад, v9 = v (3x3) = 3.
2
Якщо подкоренное число парне, розділіть його на 2. Якщо подкоренное число непарне, спробуйте розділити його на 3 (якщо число на 3 не ділиться, ділите його на 5, 7 і так далі за списком простих чисел). Ділите подкоренное число виключно на прості числа, так як будь-яке число можна розкласти на прості множники. Наприклад, вам не потрібно ділити подкоренное число на 4, так як 4 ділиться на 2, а ви вже розділили подкоренное число на 2.- 2
- 3
- 5
- 7
- 11
- 13
- 17
3
Перепишіть завдання як корінь з добутку двох чисел. Наприклад, спростимо v98: 98? 2 = 49, тому 98 = 2 x 49. Перепишіть завдання так: v98 = v (2 x 49).
4
Продовжіть розкладання чисел до тих пір, поки під коренем не залишиться твір двох однакових чисел та інших чисел. Це має сенс, якщо замислитися про сенс квадратного кореня: v (2 х 2) дорівнює числу, яке, будучи помноженим саме на себе, буде дорівнює 2 х 2. Очевидно, що це число 2! Повторіть описані вище дії для нашого прикладу: v (2 х 49).- 2 вже максимально спрощено, оскільки це просте число (див. Список простих чисел вище). Тому розкладіть на множники число 49.
- 49 на 2, 3, 5 не ділиться. Тому переходьте до наступного простому числу - 7.
- 49? 7 = 7, тому 49 = 7 x 7.
- Перепишіть завдання так: v (2 x 49) = v (2 x 7 x 7).
5
Спростите квадратний корінь. Так як під коренем знаходиться твір 2 і двох однакових чисел (7), ви можете винести таке число за знак кореня. У нашому прикладі: v (2 x 7 x 7) = v (2) v (7 x 7) = v (2) x 7 = 7v (2).- Як тільки під коренем ви отримали два однакових числа, ви можете зупинитися з розкладанням чисел на множники (якщо їх все ще можна розкласти). Наприклад, v (16) = v (4 х 4) = 4. Якщо ви продовжите розкладання чисел на множники, ви отримаєте той же відповідь, але проробите більше обчислень: v (16) = v (4 х 4) = v (2 х 2 х 2 х 2) = v (2 х 2) v (2 х 2) = 2 х 2 = 4.
6
Деякі коріння можна спрощувати багаторазово. У цьому випадку числа, що виносяться з-під знака кореня, і числа, що стоять перед коренем, перемножуються. Наприклад:- v180 = v (2 x 90)
- v180 = v (2 x 2 x 45)
- v180 = 2v45, але 45 можна розкласти на множники і ще раз спростити корінь.
- v180 = 2v (3 x 15)
- v180 = 2v (3 x 3 x 5)
- v180 = (2) (3v5)
- v180 = 6v5
7
Якщо ви не можете отримати два однакових числа під знаком кореня, то такий корінь спростити можна. Якщо ви розклали подкоренное вираз на твір простих множників, і серед них немає двох однакових чисел, то такий корінь спростити можна. Наприклад, спробуємо спростити v70:- 70 = 35 x 2, тому v70 = v (35 x 2)
- 35 = 7 x 5, тому v (35 x 2) = v (7 x 5 x 2)
- Всі три множника є простими, тому їх більше не можна розкласти на множники. Всі три множника різні, тому ви не зможете винести ціле число з-під знака кореня. Отже, v70 спростити можна.
Метод 2 з 3: Повний квадрат
1
Запам`ятайте кілька квадратів простих чисел. Квадрат числа виходить при його зведенні в другу ступінь, т. Е. Множенні на саме себе. Наприклад, 25 - повний квадрат, тому що 5 x 5 (5) = 25. Запам`ятавши хоча б десяток повних квадратів, ви зможете швидко спрощувати коріння. Ось перші десять повних квадратів:- 1 = 1
- 2 = 4
- 3 = 9
- 4 = 16
- 5 = 25
- 6 = 36
- 7 = 49
- 8 = 64
- 9 = 81
- 10 = 100
2
Якщо під знаком квадратного кореня ви бачите повний квадрат, то позбудьтеся знака кореня (v) і запишіть квадратний корінь цього повного квадрата. Наприклад, якщо під знаком квадратного кореня знаходиться число 25, то такий корінь дорівнює 5, так як 25 є повним квадратом.- v1 = 1
- v4 = 2
- v9 = 3
- v16 = 4
- v25 = 5
- v36 = 6
- v49 = 7
- v64 = 8
- v81 = 9
- v100 = 10
3
Розкладіть число під знаком кореня на твір повного квадрата та іншого числа. Якщо ви помітили, що подкоренное вираз можна розкласти на твір повного квадрата і якогось числа, то ви заощадите час і зусилля. Ось кілька прикладів:- v50 = v (25 х 2) = 5v2. Якщо подкоренное число закінчується на 25, 50 або 75, ви завжди можете розкласти його на твір 25 і якогось числа.
- v1700 = v (100 х 17) = 10v17. Якщо подкоренное число закінчується на 00, ви завжди можете розкласти його на твір 100 і якогось числа.
- v72 = v (9 х 8) = 3v8. Якщо сума цифр подкоренного числа дорівнює 9, ви завжди можете розкласти його на твір 9 і якогось числа.
- v12 = v (4 х 3) = 2v3. Завжди перевіряйте, діляться Чи подкоренное числа на 4.
4
Розкладіть подкоренное число на твір декількох повних квадратів. У цьому випадку винесіть їх з-під знака кореня і перемножте. Наприклад:- v72 = v (9 x 8)
- v72 = v (9 x 4 x 2)
- v72 = v (9) x v (4) x v (2)
- v72 = 3 x 2 x v2
- v72 = 6v2
Метод 3 з 3: Термінологія
1
v - це знак квадратного кореня.
2
Під знаком кореня записується подкоренное вираз. Наприклад, «25» - це подкоренное вираз (число) в v25.
3
Коефіцієнт - це число, що стоїть перед знаком кореня (зліва від нього). Наприклад, «7» - це коефіцієнт в 7v2.
4
Множник - ціле число, одержуване при розподілі іншого числа. 2 - множник 8, так як 8? 4 = 2, а 3 не є множником 8, так як 8 на 3 не ділиться (без остачі). 5 - множник 25, так як 5 x 5 = 25.
5
Спрощення квадратного кореня - це знаходження серед множників подкоренного вираження повних квадратів і їх вилучення з-під кореня. Наприклад, v98 може бути спрощений до 7v2.
Поради
- Для знаходження повного квадрата (як одного з множників подкоренного вирази) просто перегляньте список повних квадратів, починаючи з повного квадрата, найближчого до подкоренное числу (і далі в порядку зменшення). Шукаючи повний квадрат в числі 27, почніть з повного квадрата 25, потім 16, і зупиніться на 9.
Попередження
- Ні за яких обставин у вас не повинна з`явитися десяткова дріб!
- Калькулятори можуть бути корисні для обчислень з великими подкоренное числами, але краще практикуватися у спрощенні коренів вручну.
