Як розкласти многочлен третього ступеня на множники
Ця стаття про розкладання на множники многочлена третього ступеня. Ми розповімо як це зробити за допомогою методу групування і через вільний член.
Кроки
Частина 1 з 2: Розкладання методом угруповання
1
Розбийте многочлен на два складових многочлена (на дві групи). Розкладіть многочлен на дві групи і працюйте з кожною з них окремо.- Наприклад, візьмемо многочлен: "x + 3x - 6x - 18 = 0. Розіб`ємо його на групи (x + 3x) і (- 6x - 18)
2
Знайдіть загальний множник в кожній групі.- Для (x + 3x) загальним множником буде x
- Для (- 6x - 18), загальний множник -6.
3
Винесіть загальні множники за дужки (спрощення).- Виносимо x за дужки першого двочлена і отримуємо: x (x + 3).
- Виносимо -6 за дужки другого двочлена і отримуємо: -6 (x + 3).
4
Якщо в спрощених групах є один і той же многочлен, то можна скласти загальні знаменники і помножити на такий многочлен.- У нашому випадку отримаємо: (x + 3) (x - 6).
5
Знайдіть рішення кожного з отриманих двочлена (множника). Якщо у вас змінна x, то пам`ятайте, що можливий як позитивний, так і негативний відповідь.- У нашому прикладі x = -3, і x = v6.
Частина 2 з 2: Розкладання через вільний член
1
Наведіть многочлен до вигляду: aX + bX + cX + d.- Для прикладу будемо розглядати многочлен: x - 4x - 7x + 10 = 0.
2
Знайдіть всі множники "d".Вільний член "d" - член без змінної "x" (член, який не містить невідомого).- Множники - числа, які при перемножуванні дають аналізованих число. У нашому випадку, множники 10, або "d": 1, 2, 5 і 10.
3
Знайдіть один множник, який є рішенням многочлена. Тобто потрібно вибрати множник, при якому многочлен дорівнює 0, якщо цей множник підставити замість "x".- Почнемо з 1. Підставляючи "1" замість "x", отримаємо:
(1) - 4 (1) - 7 (1) + 10 = 0 - Рішення: 1 - 4 - 7 + 10 = 0.
- Так як 0 = 0, то x = 1 є коренем вихідного многочлена.
- Почнемо з 1. Підставляючи "1" замість "x", отримаємо:
4
Зробимо спрощення. Якщо x = 1, то можна спростити вихідний многочлен без зміни його значення.- "X = 1" те ж саме, що і "x - 1 = 0" or "(x - 1)". Ми просто перенесли 1 в ліву частину рівності.
5
Винесіть корінь за дужки початкового многочлена."(X - 1)" - це наше коріння многочлена. Спробуємо винести його за дужки. Працюйте з кожним членом многочлена окремо.- Можна винести (x - 1) з x? Ні. Але можна взяти («зайняти») -x з другого члена-і тоді можна винести наш корінь за дужки: x (x - 1) = x - x.
- Можна винести (x - 1) з частини другого члена? Ні. Для цього необхідно взяти щось з третього члена. Треба взяти 3x з -7x. Це дасть: 3x (x - 1) = -3x + 3x.
- Так як ми взяли 3x з -7x, то нашим третім членом буде тепер -10x, а вільним членом 10. Можна винести корінь (х-1)? Так! -10 (X - 1) = -10x + 10.
- Таким чином, ми переробили члени нашого многочлена для того, щоб винести (x - 1) за дужки вихідного многочлена. Наш перероблений многочлен виглядає наступним чином: x - x - 3x + 3x - 10x + 10 = 0, але це те ж саме, що і x - 4x - 7x + 10 = 0.
6
Продовжимо розкладати многочлени через вільний член. Винесіть (x - 1) з членів, отриманих в Кроці 5:- x (x - 1) - 3x (x - 1) - 10 (x - 1) = 0. Цей многочлен можна спростити через винесення (х-1) за загальні дужки: (x - 1) (x - 3x - 10) = 0.
- Тут розкладіть (x - 3x - 10). Це призведе до (x + 2) (x - 5).
7
Корінням початкового многочлена будуть коріння його розкладеного варіанту. Ви можете перевірити це через пряме підставляння кожного кореня у вихідний многочлен.- (X - 1) (x + 2) (x - 5) = 0 Корінням будуть: 1, -2, і 5.
- Підставте -2 у вихідний многочлен: (-2) - 4 (-2) - 7 (-2) + 10 = -8 - 16 + 14 + 10 = 0.
- Підставте 5 у вихідний многочлен: (5) - 4 (5) - 7 (5) + 10 = 125 - 100 - 35 + 10 = 0.
Поради
- Всі кубічні многочлени з раціональними дійсними коренями можна розкласти. Кубічні многочлени виду x ^ 3 + x + 1, у яких ірраціональні корені, не можна розкласти на многочлени з цілими (раціональними) коефіцієнтами. Хоча такий многочлен може бути розкладений по кубічної формулою, він не розкладається як цілий многочлен.
- Кубічний многочлен є добутком трьох многочленів першого ступеня або твором одного многочлена першого ступеня і неразлагающіеся многочлена другого ступеня. В останньому випадку - після знаходження многочлена першого ступеня - використовується розподіл для отримання многочлена другого ступеня.
