Як знайти корені квадратного рівняння
Квадратне рівняння - це будь-яке рівняння виду ax + bx + c = 0, де a? 0. Знаходження коренів квадратного рівняння - це те ж саме, що і рішення рівняння, тобто знаходження значень «х». Будь-яке квадратне рівняння можна вирішити за допомогою формули x = (-b +/- v (b - 4ac)) / 2a. Крім того, в залежності від даного вам рівняння, ви можете скористатися деякими прийомами, які спростять знаходження коренів.
Кроки
Метод 1 з 2: Використання формули
1
Запишіть дане вам рівняння у формі квадратного рівняння. Квадратне рівняння - це поліном другого порядку з однією змінною «х» і а? 0. Іншими словами, це рівняння з однією змінною (зазвичай «х»), найвищий показник ступеня якої дорівнює 2: ax + bx + c = 0- Щоб записати дане вам рівняння у формі квадратного рівняння, перенесіть всі його члени на ліву сторону, щоб на правій стороні залишився 0. Наприклад, дано рівняння 2x + 8x = -5x - 11.
- 2x + 8x = -5x + 11
- 2x + 5x + 8x = + 11
- 2x + 5x + 8x - 11 = 0
- 7x + 8x - 11 = 0. Зверніть увагу, що дане рівняння прийняло вид ax + bx + c = 0.
2
Підставте значення коефіцієнтів a, b, c в формулу x = (-b +/- v (b - 4ac)) / 2a, щоб знайти значення «х» (тобто вирішити рівняння або знайти коріння). Так як квадратне рівняння має вигляд ax + bx + c = 0, то число, що стоїть перед x, так само «а», перед «х» дорівнює «b», а вільний член дорівнює «с».- У нашому прикладі: 7x + 8x - 11 = 0, a = 7, b = 8, c = -11.
- Підставивши ці значення в формулу, ви отримаєте x = (-8 +/- v (8 - 4 (7) (- 11))) / 2 (7).
3
Знайдіть значення «х» (з позитивним і негативним знаком), виконавши основні операції алгебри.- У нашому прикладі:
- x = (-8 +/- v (8 - 4 (7) (- 11))) / 2 (7)
- x = (-8 +/- v (64 - (28) (- 11))) / (14)
- x = (-8 +/- v (64 - (-308))) / (14)
- x = (-8 +/- v (372)) / (14)
- x = (-8 +/- 19,29 / (14)
4
Для отримання двох значень «х» необхідно додати і відняти деяке значення. Це обумовлено тим, що при добуванні кореня з числа ви отримуєте два значення, які дорівнюють за модулем, але протилежні за знаком.- Додайте і отримаєте:
- x = (-8 + 19,29) / (14)
- x = 11.29 / 14
- x = 0,81
- Відніміть і отримаєте:
- x = (-8 - 19.29) / (14)
- x = (-27.29) / (14)
- x = -1,95 .
- Таким чином, х1 = 0,81 і х2 = -1,95.
5
Перевірте знайдені корені, так як знаходження коренів включає довгий ряд алгебраїчних операцій і тому тут легко допустити помилку.- Швидкий і простий спосіб перевірити корені рівняння - це підставити значення постійних a, b, с в онлайн калькулятор квадратних рівнянь, наприклад, сюди.
6
Також ви можете перевірити відповідь вручну. Для цього підставте знайдені значення «х» у вихідне рівняння. Якщо дотримується рівність, то коріння вірні (через заокруглень чисел рівність може дотримуватися приблизно).- Підставте знайдені значення «х» у вихідне рівняння 7x + 8x - 11 = 0:
- 7 (-1,95) + 8 (-1,95) - 11
- 26,62 - 15,6 - 11
- 26,62 - 26,5 = 0,02- 0,02 приблизно дорівнює 0, тобто рівність дотримано і х1 - це корінь даного рівняння.
- 7 (0,81) + 8 (0,81) - 11
- 4,59 + 6,48 - 11 = 0,07- 0,07 приблизно дорівнює 0, тобто рівність дотримано і х2 - це корінь даного рівняння.
Метод 2 з 2: Знаходження коренів через розкладання на множники
Розкладання на множники при а = 1
1
Запишіть дане вам рівняння у формі квадратного рівняння. Ви можете знайти корені рівняння і без використання формули, наприклад, деякі квадратні рівняння можна переписати так, що знайти коріння буде дуже легко. Але спочатку запишіть дане вам рівняння у формі квадратного рівняння: ax + bx + c = 0.- У цьому розділі ми будемо розглядати тільки ті квадратні рівняння, у яких а = 1 (рівняння з а? 1 розглянуті в наступному розділі). Наприклад: x + 7x + 12 = 0.
2
Запишіть рівняння у вигляді (х + _) (х + _) = 0. Розкладання квадратного рівняння на множники - це знаходження двох двучленной, при перемножуванні яких виходить вихідне рівняння. Так як x = х * х, то кожен двочлен починається з «х»: (х + _) (х + _) = 0.- Зверніть увагу на прогалини (позначені символом подчерківанія- далі ми пояснимо, як знайти числа, які підставляються в ці прогалини).
3
Розкладіть на множники коефіцієнт «с». Тобто треба знайти пари чисел, при перемножуванні яких вийде значення «с».- У нашому рівнянні з = 12. Множниками 12 є пари чисел 1 і 12, 2 і 6, 3 і 4.
4
Знайдіть таку пару множників «с», яка при підсумовуванні дає значення коефіцієнта «b" (не переплутайте - шукати множники «b» не потрібно).- У нашому рівнянні b = 7. Множниками «с» є пари чисел 1 і 12, 2 і 6, 3 і 4. Вибираємо пару чисел 3 і 4, так як 3 + 4 = 7 (і b = 7).
- Якщо немає такої пари множників «с», яка при підсумовуванні дає значення коефіцієнта «b», то рівняння розкласти на множники описаним способом можна. У цьому випадку скористайтеся іншим методом знаходження коренів квадратного рівняння.
5
Тепер замість пробілів у двох двучленной (див. вище) підставте знайдені числа (тобто відповідну пару множників коефіцієнта «с»). Таким чином, ви розкладіть вихідне рівняння на множники.- У нашому прикладі: (х + 3) (х + 4) = 0.
6
Знайдіть два значення «х». Для цього прирівняти кожен з двучленной до 0 і вирішите їх (це вірно, так як навіть якщо один з двучленной дорівнює 0, то добуток двох двучленной дорівнює 0).- У нашому прикладі: (х + 3) = 0 і (х + 4) = 0.
- x + 3 = 0: x = -3
- x + 4 = 0: x = -4
- Зверніть увагу, що ці відповіді можуть бути перевірені тими ж способами, які описані в попередньому розділі.
Розкладання на множники при а? 1
1
Розкладіть коефіцієнт «а» на множники. Так як «а» стоїть перед x, то кожен множник буде включати змінну «х».- Наприклад: 2x + 14x + 12 = 0. Тут а = 2 і розкладається на одну пару множників 2 і 1. Тобто перший член рівняння 2x = 2х * х.
- Зверніть увагу, що бувають випадки, коли у коефіцієнта «а» кілька пар множників. Наприклад, член 8x можна розкласти на наступні множники: 8x * х і 2x * 4x. У цьому випадку необхідно перевірити, яка пара множників підходить для розкладання даного рівняння.
2
Запишіть рівняння у вигляді ((множітель1) + _) ((множітель2) + _). Ми не починаємо двочлена з «х», як у попередньому розділі, так як тут перед «х» можуть стояти деякі коефіцієнти.- У нашому прикладі запишіть рівняння у вигляді (2x + _) (х + _).
3
Розкладіть на множники коефіцієнт «с». Тобто треба знайти пари чисел, при перемножуванні яких вийде значення «с».- У нашому прикладі з = 12- множителями 12 є пари чисел 1 і 12, 2 і 6, 3 і 4.
4
Замість прогалин у творі двох двучленной (див. вище) підставте пари множників «с» і знайдіть таку пару, яка при перемножуванні і підсумовуванні членів двучленной дасть значення «b». Пам`ятайте, що тут двочлена починаються не з «х», а з деяких членів, що містять коефіцієнт і змінну «х».- У нашому прикладі b = 14, а другий член рівняння дорівнює 14х. Це означає, що ми хочемо знайти два числа (пару множників «с»), одне з яких помножимо на 2х, інше на х, а потім складемо результати твори- отримана сума повинна дорівнювати 14x.
- Розглянемо пару множників 3 і 4: 3 * 2x = 6х- 4 * х = 4x- 4x + 6x = 10x. Не підходить. Поміняємо місцями числа: 4 * 2x = 8х- 3 * х = 3x- 8x + 3x = 11x. Не підходить.
- Розглянемо пару множників 6 і 2: 6 * 2x = 12х- 2 * х = 2x- 12x + 2x = 14x. Підходить! Замість прогалин підставте числа 6 і 2.
5
Тепер замість пробілів у двох двучленной (див. вище) підставте знайдені числа (тобто відповідну пару множників коефіцієнта «с»). Таким чином, ви розкладіть вихідне рівняння на множники. Майте на увазі, що кожне число потрібно ставити на своє місці (не переплутайте!), Щоб в результаті отримати правильний коефіцієнт «b». Після цього прирівняти кожен з двучленной до 0 і вирішите їх.- У нашому прикладі: (2x + 2) (х + 6) = 0.
- 2x + 2 = 0
- 2x = -2: x = -1
- x + 6 = 0: x = -6
Поради
- Пам`ятайте, що квадратний корінь може бути як позитивним, так і негативним. Тому у квадратного рівняння завжди два кореня.
- Зверніть увагу, що коріння деяких квадратних рівнянь можна знайти, доповнивши рівняння до квадрата.
- Розкладання на множники і доповнення до квадрата - це два обхідних шляхи вирішення квадратного рівняння за допомогою формули. Якщо вам цікаво, прочитайте статтю про те, як вивести формулу для коренів квадратного рівняння.
