Як розкласти на множники тричлен

Редагувати користувачем Arina.Iv, Maluniu, Bmalov і ще одним іншим

В алгебрі тричлен - це многочлен, що містить три члена і має вигляд ax + bx + c. Многочлени грають важливу роль в математиці і науках, і навички їх розкладання на множники можуть стати в нагоді в багатьох областях. Тут описані методи розкладання тричленів на множники. Існує кілька певних сценаріїв, коли тричлен може бути розкладений на множники. Якщо жоден з них не спрацьовує, то потрібно скористатися загальним методом розкладання многочленів вищих порядків.

Метод 1 з 4: квадратного тричлена

1
Розставте члени многочлена по порядку, починаючи з вищого. Основа розстановки - мінлива многочлена. Правильний порядок запису трехчлена - від змінної вищого порядку і далі до вільного члену. Таким чином, 5 + x + 6x записується у вигляді x + 6x + 5.
2
Винесіть за дужки спільний дільник всіх трьох членів (якщо він є). Якщо всі члени мають спільний дільник, то він може бути винесений за скобкі- або ж якщо у всіх членів загальна змінна, то вона також може бути винесена за дужки.
- У тричленів -8a + 24a + 144, 8 - дільник кожного коефіцієнта, який може бути винесений за дужки: -8 (a - 3a - 18). Числа -3 і -18 ділять другий і третій коефіцієнт, але ці числа не ділять перше коефіцієнт, тому їх не можна винести за дужки.
- У тричленів -x - 2x - 1, відповідно, (-1) - дільник кожного коефіцієнта, який може бути винесений за дужки: (-1) (x + 2x + 1) або - (x + 2x + 1).
3
Шукайте загальні закономірності, які полегшать розкладання тричленів на множники. Для отримання детальної інформації та прикладів дивіться розділ «Особливі випадки розкладання тричленів на множники».
4
Розкладіть тричлен на твір биномом (mx + n) (qx + r) (якщо можливо). Цей крок часто включає в себе метод проб і помилок, але є способи спростити його. Припустимо, що коефіцієнт першого члена трехчлена (x) дорівнює 1 (тобто перший член дорівнює x, а не 3x). У цьому випадку m = q = 1 і розкладання на множники має вигляд (х + b) (х + d). Необхідно знайти такі значення n і r, при яких n * r = c і n + r = b.
- У нашому прикладі x + 6x + 5, 5 * 1 = 5 і 5 + 1 = 6. Отже, рішення: (x + 1) (x + 5).
- Якщо не всі члени тричлени позитивні, не забудьте врахувати негативні коефіцієнти. Наприклад, x - 3x - 18 = (x - 6) (x + 3), так як -6 + 3 = -3 і -6 * 3 = -18.
5
Якщо коефіцієнт першого Член не дорівнює 1 (тобто 3x, а не x), то розкладання на множники дещо ускладнюється: ax + bx + c = (mx + n) (qx + r). Необхідно знайти такі значення m, q, n і r, при яких m * q = a, m * r + n * q = b, n * r = c.
- Почніть з знаходження всіх можливих пар множників а й с. Потім підставте їх у формули і знайдіть потрібну пару.
- Наприклад, 3x + 10x + 8. Пара множників 3: 1 * 3. Пара множників 8: 1 * 8 і 2 * 4. Так як 3 * 1 = 3 (коефіцієнт a), 1 * 4 + 2 * 3 = 10 ( коефіцієнт b), 2 * 4 = 8 (коефіцієнт c), то рішення: (3x + 4) (x + 2).

Метод 2 з 4: Особливі випадки розкладання тричленів на множники

1
Визначте, що коефіцієнт першого або третього членів трехчлена - просте число. Просте число - число, що ділиться тільки на 1 і на саме себе. Це зменшить вибір пар множників. У нашому прикладі, x + 6x + 5, 5 - просте число і є тільки одна пара множників для цього числа: 5 і 1. Розкладання трехчлена: (x + 5) (x + 1).

2
Визначте, що тричлен - повний квадрат. Повний квадрат трехчлена ax + bx + c - це ситуація, коли з коефіцієнтів a і c можна витягти цілий квадратний корінь, а коефіцієнт b дорівнює подвоєному добутку квадратних коренів з a і c.
- (X + a) = x + 2ax + a. Наприклад, (x + 3) = x + 6x + 9, і (3x + 2) = 9x + 12x + 4.
- Аналогічно (x - a) = x - 2ax + a. Наприклад, (x - 3) = x - 6x + 9.
3
Для деяких квадратних тричленів виду x - n:
- (X + a) (x - a) = x - a. Тому x - 9 = (x + 3) (x - 3), і 4x - 4 = (2x + 2) (2x - 2).

Метод 3 з 4: Використання формули для вирішення квадратного рівняння

Якщо квадратний тричлен складно або неможливо розкласти на множники, використовуйте формулу для вирішення квадратного рівняння.

1
Формула:
2
Підставте значення a, b, c і знайдіть корені рівняння. Наприклад, x + 5x + 6.
- Почніть з b - 4ac. У нашому прикладі: 5 - 4 (1) (6) = 1. v1 = 1.
- Продовжіть рішення рівняння. -b + 1 = -5 + 1 = -4. Розділіть це значення на 2а (2 * 1 = 2), щоб отримати -2.
3
Знайдіть інший корінь. Ви знаєте, що квадратний корінь з b - 4ac = 1. -b - 1 = -6. Розділіть це значення на 2а (2 * 1 = 2), щоб отримати -3.
4
Перевірте коріння, підставивши їх замість «х». Іноді один або обидва кореня не є рішеннями трехчлена. Але якщо тричлен має рішення, то ви знайдете його за цією формулою.
- Зверніть увагу, що якщо ви розкладіть цей тричлен на множники (а не скористаєтеся формулою), то отримаєте (х + 2) (х + 3). Якщо ви прирівняти цей тричлен до 0, ви отримаєте два рішення, х = -2 і х = -3.

Метод 4 з 4: Спрощення до квадратного рівняння

Деякі Трехчлен вищих порядків можна спростити до квадратного рівняння (за допомогою заміни). Після цього з ними можна працювати як з квадратними рівняннями.

1
Подивіться на змінні кожного члена. Наприклад, x - 7x + 12 є тричленна 6 порядку, але після заміни u = x воно стає квадратним: u - 7u + 12.
- Цей спосіб також годиться для тричленів з кількома різними змінними. Наприклад, xy - 7xy + 12y спрощується до xy (u - 7u + 12) після заміни u = x / y.
2
Якщо така заміна можлива, розкладіть на множники спрощений многочлен- у нашому прикладі: u - 7u + 12 = (u-3) (u-4).
3
Уявіть результат, підставивши x замість u: x - 7x + 12 = (x - 3) (x - 4). Якщо можливо або потрібно, ще раз спростите вирази в дужках.

Поради

Трехчлен вищого порядку з декількома змінними можуть бути приведені до квадратного рівняння (або навіть до лінійного рівняння) з однією змінною. Наприклад, 4xy - 5x + 15y. Цей тричлен можна переписати так: (4x) y + 15y - 5x. Зверніть увагу, що тепер тричлен має вигляд ax + bx + c, де a = 4x, c = 5x. Такий тричлен можна вирішити, використовуючи формулу для вирішення квадратного рівняння.
Використовуйте критерій Ейзенштейна для визначення неможливості розкладання трехчлена на множники. Цей критерій застосуємо для многочленів будь-якого порядку, але краще всього працює з тричленів. Якщо існує просте число p, яке без остачі ділить коефіцієнти двох останніх членів і яке відповідає наступним умовам, то многочлен розкласти можна.
- Вільний член (с) ділиться на р, але не на p.
- Коефіцієнт першого члена (а) не ділиться на p.
- Наприклад, многочлен 14x + 45x + 51 розкласти не можна, так як просте число 3 ділить 45 і 51, але не 14, а 51 не ділиться на 3.
Ви можете повправлятися в розкладанні многочленів на множники, взявши завдання з підручника алгебри.

Попередження

Хоча це і вірно для квадратних рівнянь, Трехчлен не завжди розкладаються на добуток двох биномом. Наприклад: x + 105x + 46 = (x + 5x + 2) (x - 5x + 23).

Що вам знадобиться

Підручник алгебри
Папір і олівець