Як вирішувати системи рівнянь
При вирішенні системи рівнянь потрібно знайти значення більш, ніж однієї змінної. Для вирішення можна використовувати додавання, віднімання, множення і заміну. Як саме розв`язувати системи рівнянь, ви дізнаєтеся з цієї статті.
Кроки
Метод 1 з 4: Рішення через віднімання
1
Запишіть рівняння в стовпчик - одне під іншим. Спосіб вирішення відніманням найкраще підходить в ситуаціях, коли коефіцієнт однієї із змінних однаковий в обох рівняннях і має однаковий знак. Наприклад, якщо в обох рівняннях є елемент + 2х, то треба використовувати рішення відніманням.- Запишіть рівняння так, щоб змінні х і у і цілі числа були один під одним. Напишіть знак віднімання (-) за межами другого рівняння.
- Приклад: Якщо рівняння: 2x + 4y = 8 і 2x + 2y = 2, то одне з них треба записати над іншим і вказати знак мінус.
- 2x + 4y = 8
- -(2x + 2y = 2)
2
Виконайте віднімання. Можна виконувати дії по черзі:- 2x - 2x = 0
- 4y - 2y = 2y
- 8 - 2 = 6
- 2x + 4y = 8 - (2x + 2y = 2) = 0 + 2y = 6
3
Вирішіть залишився рівняння. Позбувшись від однієї із змінних, ви можете без проблем знайти значення другої.- 2y = 6
- Розділіть 2y і 6 на 2 і вийде y = 3
4
Тепер підставляємо значення у в одне з рівнянь, вирішуємо і знаходимо значення х.- Підставляємо y = 3 в рівняння 2x + 2y = 2 і знаходимо x.
- 2x + 2 (3) = 2
- 2x + 6 = 2
- 2x = -4
- x = - 2
- Система рівнянь вирішена через віднімання: (x, y) = (-2, 3).
5
Перевірте відповідь. Для цього просто підставте обидва значення в кожне з рівнянь і переконайтеся, що все сходиться. Ось так:- Підставляємо (-2, 3) замість (x, y) в рівняння 2x + 4y = 8.
- 2 (-2) + 4 (3) = 8
- -4 + 12 = 8
- 8 = 8
- Підставляємо (-2, 3) замість (x, y) в рівняння 2x + 2y = 2.
- 2 (-2) + 2 (3) = 2
- -4 + 6 = 2
- 2 = 2
- Підставляємо (-2, 3) замість (x, y) в рівняння 2x + 4y = 8.
Метод 2 з 4: Рішення через складання
1
Запишіть обидва рівняння в стовпчик, одне під іншим. Спосіб вирішення через складання найкраще підходить в ситуаціях, коли коефіцієнт однієї із змінних однаковий в обох рівняннях, але має різний знак. Наприклад, в одному рівнянні є елемент 3х, а в іншому -3х.- Запишіть рівняння так, щоб змінні х і у і цілі числа були один під одним. Напишіть знак додавання (+) за межами другого рівняння.
- Приклад: Якщо нам дані рівняння 3x + 6y = 8 і x - 6y = 4, то одне з них треба записати над іншим і вказати знак плюс.
- 3x + 6y = 8
- +(X - 6y = 4)
2
Виконайте додавання. Можна виконувати дії по черзі:- 3x + x = 4x
- 6y + -6y = 0
- 8 + 4 = 12
- Виходить:
- 3x + 6y = 8
- +(X - 6y = 4)
- = 4x + 0 = 12
3
Вирішіть залишився рівняння. Позбувшись від однієї із змінних, ви можете без проблем знайти значення другої.- 4x + 0 = 12
- 4x = 12
- Розділіть 4x і 12 на 3 і вийде x = 3
4
Тепер підставляємо значення у в одне з рівнянь, вирішуємо і знаходимо значення у.- Підставляємо x = 3 в рівняння x - 6y = 4 і знаходимо y.
- 3 - 6y = 4
- -6y = 1
- Розділіть -6y і 1 на -6 і вийде y = -1/6
- Система рівнянь вирішена через додавання (x, y) = (3, -1/6).
5
Перевірте відповідь. Для цього просто підставте обидва значення в кожне з рівнянь і переконайтеся, що все сходиться. Ось так:- Підставте (3, -1/6) замість (x, y) в рівняння 3x + 6y = 8.
- 3 (3) + 6 (-1/6) = 8
- 9 - 1 = 8
- 8 = 8
- Підставте (3, -1/6) замість (x, y) в рівняння x - 6y = 4.
- 3 - (6 * -1/6) = 4
- 3 - - 1 = 4
- 3 + 1 = 4
- 4 = 4
- Підставте (3, -1/6) замість (x, y) в рівняння 3x + 6y = 8.
Метод 3 з 4: Рішення через множення
1
Запишіть рівняння в стовпчик так, щоб змінні х і у і цілі числа були один під одним. Однакових коефіцієнтів тут поки немає.- 3x + 2y = 10
- 2x - y = 2
2
Помножте одне або обидва рівняння так, щоб коефіцієнти однієї із змінних в обох рівняннях стали рівні. У цьому випадку друге рівняння можна помножити на 2, і змінна -у стане -2у, такий же як і в першому рівнянні. Ось так:- 2 (2x - y = 2)
- 4x - 2y = 4
3
Складіть або відніміть рівняння. Тепер можна використовувати спосіб додавання або віднімання. У цьому випадку ми маємо справу 2у і -2у, тому простіше використовувати метод складання. Якби обидва коефіцієнта були зі знаком +, то краще було б використовувати метод віднімання. Ну а зараз ми використовуємо додавання:- 3x + 2y = 10
- + 4x - 2y = 4
- 7x + 0 = 14
- 7x = 14
4
Тепер вирішуємо залишився рівняння. Вирішуємо і знаходимо значення залишилася змінної. Якщо 7x = 14, то x = 2.
5
Тепер підставляємо значення у в одне з початкових рівнянь, вирішуємо і знаходимо значення у. Виберіть рівняння простіше.- x = 2 ---> 2x - y = 2
- 4 - y = 2
- -y = -2
- y = 2
- Система рівнянь була вирішена через множення. (X, y) = (2, 2)
6
Перевірте відповідь. Для цього просто підставте обидва значення в кожне з рівнянь і переконайтеся, що все сходиться. Ось так:- Підставте (2, 2) замість (x, y) в рівняння 3x + 2y = 10.
- 3 (2) + 2 (2) = 10
- 6 + 4 = 10
- 10 = 10
- Підставте (2, 2) замість (x, y) в рівняння 2x - y = 2.
- 2 (2) - 2 = 2
- 4 - 2 = 2
- 2 = 2
Метод 4 з 4: Рішення через заміну
1
Рішення через заміну найзручніше використовувати в тих випадках, коли один з коефіцієнтів одному рівнянні дорівнює коефіцієнту в іншому. Треба просто ізолювати змінну з коефіцієнтом 1.- Якщо ми маємо справу з рівняннями 2x + 3y = 9 і x + 4y = 2, то перенести треба змінну х у другому рівнянні.
- x + 4y = 2
- x = 2 - 4y
2
Тепер підставте значення ізольованою змінної в інше рівняння. Ось так:- x = 2 - 4y -> 2x + 3y = 9
- 2 (2 - 4y) + 3y = 9
- 4 - 8y + 3y = 9
- 4 - 5y = 9
- -5y = 9 - 4
- -5y = 5
- -y = 1
- y = - 1
3
Обчисливши, що у = -1, ми тепер підставляємо це значення в більш просте рівняння і знаходимо значення х. Ось так:- y = -1 -> x = 2 - 4y
- x = 2 - 4 (-1)
- x = 2 - -4
- x = 2 + 4
- x = 6
- Ви вирішили систему рівнянь через заміну. (X, y) = (6, -1)
4
Перевірте відповідь. Для цього просто підставте обидва значення в кожне з рівнянь і переконайтеся, що все сходиться. Ось так:- Підставте (6, -1) замість (x, y) в рівнянні 2x + 3y = 9.
- 2 (6) + 3 (-1) = 9
- 12 - 3 = 9
- 9 = 9
- Підставте (6, -1) замість (x, y) в рівнянні x + 4y = 2.
- 6 + 4 (-1) = 2
- 6 - 4 = 2
- 2 = 2
- Підставте (6, -1) замість (x, y) в рівнянні 2x + 3y = 9.
Поради
- Системи лінійних рівнянь вирішуються одним з чотирьох способів, вам треба тільки вибрати найбільш підходящий.
