Як вирішувати логарифмічні рівняння

На перший погляд логарифмічні рівняння дуже складно вирішувати, але це зовсім не так, якщо усвідомити, що логарифмічні рівняння - це інший спосіб запису показових рівнянь. Для вирішення логарифмічного рівняння уявіть його у вигляді показового рівняння.

Кроки

Спочатку навчіться представляти логарифмічне вираження в показовою формі.

1. 1

   Визначення логарифма. Логарифм визначається як показник ступеня, в яку треба звести підстава, щоб отримати число. Представлені нижче логарифмічне і показове рівняння рівносильні.
   • y = log_b (X)
   • b = x
   • b - підставу логарифма, причому
     • b> 0
     • b ? 1
   • х- аргумент логарифма, а у - Значення логарифма.

2. 2

   Подивіться на дане рівняння і визначте підстава (b), аргумент (х) і значення (у) логарифма.
   • Приклад: 5 = log₄(1024)
     • b = 4
     • y = 5
     • x = 1024

3. 3

   Запишіть аргумент логарифма (х) на одній стороні рівняння.
   • Приклад: 1024 =?

4. 4

   На іншій стороні рівняння запишіть підстава (b), зведене в ступінь, рівну значенню логарифма (у).
   • Приклад: 4

5. 5

   Тепер запишіть логарифмічне вираження у вигляді показового вираження.
   • Приклад: 4 = 1024

Метод 1 з 3: Обчислення «х»

1. 1

   Обособьте логарифм, перенісши його на одну сторону рівняння.
   • Приклад: log₃(x + 5) + 6 = 10
     • log₃(x + 5) = 10 - 6
     • log₃(x + 5) = 4

2. 2

   Перепишіть рівняння в показовій формі (для цього використовуйте метод, викладений у попередньому розділі).
   
   
   
   
   
   • Приклад: log₃(x + 5) = 4
     • Згідно з визначенням логарифма (y = log_b (X)): Y = 4- b = 3- x = x + 5
     • Перепишіть це логарифмічне рівняння у вигляді показового (b = x):
     • 3 = x + 5

3. 3

   Знайдіть «х». Для цього вирішите показове рівняння.
   • Приклад: 3 = x + 5
     • 3 * 3 * 3 * 3 = x + 5
     • 81 = x + 5
     • 81 - 5 = x
     • 76 = x

4. 4

   Запишіть остаточну відповідь (перед цим перевірте його).
   • Приклад: х = 76

Метод 2 з 3: Обчислення «х» через формулу для логарифма твори

1. 1

   Формула для логарифма твори: логарифм добутку двох аргументів дорівнює сумі логарифмів цих аргументів:
   • log_b(M * n) = log_b(M) + log_b(N)
   • при цьому:
     • m> 0
     • n> 0

2. 2

   Обособьте логарифм, перенісши його на одну сторону рівняння.
   • Приклад: log₄(X + 6) = 2 - log₄(X)
     • log₄(X + 6) + log₄(X) = 2

3. 3

   Застосуйте формулу для логарифма твору, якщо в рівнянні є сума двох логарифмів.
   • Приклад: log₄(X + 6) + log₄(X) = 2
     
     
     
     • log₄[(X + 6) * x] = 2
     • log₄(X + 6x) = 2

4. 4

   Перепишіть рівняння в показовій формі (для цього використовуйте метод, викладений у першому розділі).
   • Приклад: log₄(X + 6x) = 2
     • Згідно з визначенням логарифма (y = log_b (X)): Y = 2- b = 4- x = x + 6x
     • Перепишіть це логарифмічне рівняння у вигляді показового (b = x):
     • 4 = x + 6x

5. 5

   Знайдіть «х». Для цього вирішите показове рівняння.
   • Приклад: 4 = x + 6x
     • 4 * 4 = x + 6x
     • 16 = x + 6x
     • 0 = x + 6x - 16
     • 0 = (x - 2) * (x + 8)
     • x = 2- x = -8

6. 6

   Запишіть остаточну відповідь (перед цим перевірте його).
   • Приклад: х = 2
   • Зверніть увагу, що значення «х» не може бути негативним, тому рішенням х = - 8 можна знехтувати.

Метод 3 з 3: Обчислення «х» через формулу для логарифма приватного

1. 1

   Формула для логарифма приватного: логарифм приватного двох аргументів дорівнює різниці логарифмів цих аргументів:
   • log_b(M / n) = log_b(M) - log_b(N)
   • при цьому:
     • m> 0
     • n> 0

2. 2

   Обособьте логарифм, перенісши його на одну сторону рівняння.
   • Приклад: log₃(X + 6) = 2 + log₃(X - 2)
     • log₃(X + 6) - log₃(X - 2) = 2

3. 3

   Застосуйте формулу для логарифма приватного, якщо в рівнянні є різниця двох логарифмів.
   • Приклад: log₃(X + 6) - log₃(X - 2) = 2
     • log₃[(X + 6) / (x - 2)] = 2

4. 4

   Перепишіть рівняння в показовій формі (для цього використовуйте метод, викладений у першому розділі).
   • Приклад: log₃[(X + 6) / (x - 2)] = 2
     • Згідно з визначенням логарифма (y = log_b (X)): Y = 2- b = 3- x = (x + 6) / (x - 2)
     • Перепишіть це логарифмічне рівняння у вигляді показового (b = x):
     • 3 = (x + 6) / (x - 2)

5. 5

   Знайдіть «х». Для цього вирішите показове рівняння.
   • Приклад: 3 = (x + 6) / (x - 2)
     • 3 * 3 = (x + 6) / (x - 2)
     • 9 = (x + 6) / (x - 2)
     • 9 * (x - 2) = [(x + 6) / (x - 2)] * (x - 2)
     • 9x - 18 = x + 6
     • 9x - x = 6 + 18
     • 8x = 24
     • 8x / 8 = 24/8
     • x = 3

6. 6

   Запишіть остаточну відповідь (перед цим перевірте його).
   • Приклад: х = 3