Як вручну накреслити безліч Мандельброта

Безліч Мандельброта складається з точок, побудованих на комплексній площині, що формують фрактал: разючу форму або форму, в якій кожна частина насправді є зменшеною копією цілого. Неймовірно сліпучі образи, приховані в безлічі Мандельброта, можна було дивитися в 1500-х роках завдяки розумінню Рафаеля Бомбелли про уявні числах - але цього не було, поки Бенуа Мандельброт й інші не почали досліджувати фрактали за допомогою комп`ютера, так був відкритий секрет всесвіту.



Тепер, коли ми знаємо, що це існує, ми можемо підійти до нього більш примітивним чином: вручну. Ось метод перегляду грубого відтворення конфігурації, тільки з метою розуміння того, як це делается- Ви тоді отримаєте більш глибоке задоволення з приводу візуалізації, що ви можете зробити за допомогою багатьох доступних комп`ютерних програм, або що ви можете переглядати на CD або DVD.

Кроки

  1. 1

    Зрозуміти основну формулу, часто виражену вz = z + c. Це просто означає, що для кожної точки у всесвіті Мандельброта ми хочемо бачити, ми продовжуємо обчислення z,поки одне з двох умови не проісходіт- тоді ми фарбуємо його, щоб показати, скільки розрахунків ми зробили. Не хвилюйтеся! Це стане ясно після наступних кроків.

  2. 2

    Візьми 3 різнокольорових стержня від олівця або зламані крейда або наконечники від маркерів і чорний загострений олівець чи ручку, щоб зробити начерки. Причина, по якій ми хочемо три кольори, - ми будемо робити перше наближення не більше ніж з 3 повторень (проходів, або, іншими словами, застосовуючи формулу до 3 разів на точці):

  3. 3

    Чорним маркером, намалюйте великі хрестики-нулики на дошці, 3х3 метра, на аркуші паперу.

  4. 4

    Етикетка (також чорна) середній квадрат (0, 0) `. Це постійне значення точки - константа (`з`) точно в центрі площі. Тепер, скажімо, кожен квадрат 2 одиниці в ширину, так що додамо і / або віднімемо 2 в / із значень кожного квадрата х і у , де х перший номер і у - Другий. Коли це зроблено, це буде виглядати так, як показано тут. Всякий раз, коли ви будете дотримуватися осередки, значення у (другий номер) повинні бути одінаковимі- всякий раз, коли ви будете слідувати по осередках вниз, значення х (перший номер) повинні бути однаковими.

  5. 5

    Розрахуйте перший прохід, або повторення , формули. Ви, як комп`ютер (насправді, первісне значення слова було "людина, яка обчислює") можете зробити самостійно. Давайте почнемо з цих припущень:

    • Початкове значення z кожного квадрата (0, 0). Коли абсолютне значення Z для даної точки більше або дорівнює 2, то точка (і відповідний квадрат), як кажуть, уникає безлічі Мандельброта. Коли це станеться, ви будете фарбувати квадрат залежно від кількості повторень формули, яку ви заявили на той момент.

    • Виберіть кольори, які ви будете використовувати для проходів 1, 2 і 3. Припустимо, це будуть червоний, зелений і синій, відповідно, для цілей цієї статті.

    • Обчисліть значення z для верхнього лівого кута дошки хрестики-нулики, припускаючи, що початкове значення z як 0 + 0i або (0, 0) (дивіться в розділі Поради для кращого розуміння цих образів). Ми використовуємо формулу z = z + c, як описано в першому кроці. Ви швидко побачите, що, в даному випадку, z + c просто `З` , так як нуль у квадраті - це просто нуль. А чим `C` є для цієї площі? (-2, 2).

    • Визначте абсолютне значення цієї точки-абсолютне значення комплексного числа (а, b) - це квадратний корінь з a + b. Тепер, так як ми будемо порівнювати це з відомим значенням: `2` , ми можемо уникнути обчислення квадратного кореня, порівнюючи a + b to 2, який, ми знаємо, дорівнює `4` .За цим розрахунком, a = -2 and b = 2.

      • ([-2] + 2) =
      • (4 + 4) =
      • 8, що більше 4.
    • Це вийшло з безлічі Мандельброта після першого розрахунку, так як його абсолютне значення більше, ніж 2. Розфарбуйте його олівцем, обраним для проходу.

    • Зробіть те ж саме для кожного квадрата на дошці, крім центральної площі, яка не буде позбавлена безлічі Мандельброта в 3-му проході (і не буде ніколи позбавлена). Отже, ви використовували тільки два кольори: колір першого проходу для всіх зовнішніх квадратів, і третього проходу колір для середньої площі.

  6. 6

    Давайте спробуємо квадрати в 3 рази більше , 9 на 9, але все ще зберігаючи максимум 3 повторення.




  7. 7

    Почніть з 3-го ряду вниз, тому що тут це стає цікавим відразу.

    • Перший елемент, (-2, 1) більше, ніж 2 (тому що (-2) + 1 стає 5), так що давайте малювати один червоним, як воно вислизає безліч Мандельброта на першому проході.

    • Другий елемент, (-1.5, 1) не більше 2. Спираючись на формулу абсолютної більшості, x + y, де x = -1.5 і y = 1:

      • (-1.5) = 2.25
      • 1 = 1
      • 2.25 + 1 = 3.25, менше 4, тому квадратний корінь менше 2.
    • Таким чином, ми перейдемо до нашого другого проходу, розрахунок z + c використовуючи ярлик (xy, 2xy) для z (дивіться в розділі Поради для чого цей ярлик виробляється), ще з х = -1,5 і у = 1:

      • (-1.5) - 1 стає 2.25 - 1, яке стає 1.25;
      • 2xy, де x -1.5 і y 1, стає 2 (-1.5), яке дорівнює -3.0;
      • Це дає нам z від (1.25, -3)
      • Тепер додамо c в цей осередок (додати x до x, y до y) отримуємо (-0.25, -2)
    • Давайте перевіримо, чи більше 2 тепер абсолютне значення. Вважаємо x + y:

      • (-.25) = .0625
      • -2 = 4


      • .0625 + 4 = 4.0625, квадратний корінь якого більше 2, це виходить після другого проходу: наш перший зелений!
      • Так як ви тепер ознайомлені з розрахунками, ви будете іноді бути в змозі сказати, як одне може уникнути безлічі Мандельброта, просто глянувши на цифри. У цьому прикладі компонентів Y має величину 2, в якому, коли в квадраті і доданий до квадрату значення іншого числа, буде більше, ніж 4. будь-яке число, більше 4, матиме корінь квадратний більше 2. Дивіться поради нижче для більш докладного пояснення.
    • Третій елемент зі значенням (-1, 1) не уникає першого проходу: де і 1, і -1 в квадраті - це 1, x + y це 2. Так ми вважаємо z + c, використовуючи ярлик (xy, 2xy), де z:

      • (-1) -1 Стає 1-1, що дорівнює 0;
      • 2xy затем2 (-1) = -2;
      • z = (0, -2)
      • додаючи с, ми отримуємо (0, -2) + (-1, 1) = (-1, -1)
    • Це все той же абсолютне значення, як і раніше (квадратний корінь з двох, близько 1.41) - продовжуючи третій повторення:

      • ([-1]) - ([- 1]) стає 1-1, що дорівнює 0 (знову) ...
      • але тепер 2xy це 2 (-1) (- 1), що дорівнює 2, рівне z value of (0, 2)
      • додаємо c отримуємо (0, 2) + (-1, 1) = (-1, 3), далі виходить a + b це 10, набагато більше 4.
    • Таким чином, на цей раз також уникає. Розфарбуйте 6 осередки в свій третій колір, синій, і переходьте до наступного, так як ми завершили три повторення з цієї точки.

      • Той факт, що ми використовуємо тільки три кольори, стає очевидним як проблема тут, оскільки те, що вислизає тільки після 3 повторень, пофарбовано так само, як (0, 0), який «ніколи" не убегает- очевидно, ви досі нічого не побачите ближче до "помилку" Мандельброта на цьому рівні деталізації.

  8. 8

    Продовжуйте обчислення в кожному осередку , поки воно не втекло, або ви досягли максимальної кількості повторень (кількість кольорів ви використовуєте: 3 в цьому прикладі), в цей момент ви пофарбуєте його. Ось як матриця 9 на 9 виглядає після 3 повторень на кожному квадраті ... Схоже, перед чимось!

  9. 9

    Повторіть ту ж матрицю знову з великою кількістю квітів (повторень), щоб виявити наступні декілька шарів, або краще, скласти набагато більшу матрицю для довгострокового проекту! Ви отримуєте більш точні знімки по:

    • Збільшення кількості клітин-це становить 81 клітку на кожній стороні. Зверніть увагу на схожість з матриці 9 по 9 вище, але з набагато більш гладкими краями на колі і овалі.

    • Збільшення кількості кольорів (повторень) - це має 256 відтінків червоного, зеленого і синього в цілому 768 квітів у порівнянні з 3. Відзначимо, що зараз можна побачити обриси добре відомого Мандельброта "озера" (або "помилки", залежно від того, як ви дивитеся на нього). Недоліком є кількість часу, який потрібно-якщо ви можете розрахувати кожне повторення в 10 секунд, це близько 2 годин для кожного осередку, або близько того, озера Мандельброта. Хоча це відносно невелика частина матриці 81 на 81, це буде як і раніше можливо, займе рік, щоб завершити його, навіть якщо ви працювали протягом кількох годин кожен день. Це де кремнієвий тип комп`ютера прігождается.

Поради

  • Чому z = (x-y, 2xy)?

    • Щоб помножити два комплексних номера як (a, b) з (c, d), використовуйте наступну формулу, наведену тут: Mathworld article: (a, b) (c, d) = (ac - bd, bc + ad)
    • Постійно помножене на квадратний корінь з негативне число 1, часто називають `I` . Комплексне число (0, 0), наприклад, 0 + 0i, і (-1, -1) (1) + (-1 * I) Маємо на увазі, що комплексне число має "реальну" і "уявну" частина, причому остання - дійсне число.
    • Все ще з нами? Пам`ятайте, що терміни а і з - реальні, і терміни b і d уявні . Тому, коли уявні члени перемножуються, квадратний корінь з від`ємного 1, помноженого на себе, дає негативний 1, заперечуючи результат і робить його реальним- в той час як число `ad` `і` bc `залишаються уявними, так як квадратний корінь з від`ємного 1 і раніше вираз цих продуктів. Тому, у нас є ac - реальне , і bc + ad уявне.
    • Тепер, так як ми будуємо в квадрат числа замість множення двох різних номерів, це може бути трохи упрощено- так як А = С, і В = D, у нас є продукт у вигляді (ab, 2ab). І так як ми відображаємо "комплексну площину" на "декартовій площині", з `X` осі, що представляє "реальне" і `Y` осі, що представляють "уявне", це буде ставитися як (X-y, 2xy).
  • Якщо ви розраховуєте осередок знову і знову, і зверніть увагу, що результат, який є точно таким же, як той, який ви вже отримали для цього осередку, ви знаєте, ви потрапили в нескінченний цикл-що клітці ніколи не вирватися! Таким чином, ви можете отримати ярлик, остаточний колір ваших клітин, і перехід до наступного. (0, 0), очевидно, одна з цих клітин.
  • Хочете знати більше про присудження абсолютного значення комплексного числа, що не працюючи над розрахунками?

    • Абсолютне значення комплексного числа (а, b) - це квадратний корінь з a + b, так само, як а і `B` представлені під прямим кутом один до одного на декартовій сітці (х і у координат, відповідно). Тому, так як ми знаємо, що безліч Мандельброта обмежено значенням 2, а квадрат 2 = 4, ми можемо обійти квадратні корені, просто побачивши, якщо x + y> = 4.
    • Якщо катет має довжину> = 2, то гіпотенуза (діагональна сторона) також повинна бути більше, ніж 2. Якщо ви не бачите, чому це так, подивіться на прямокутні трикутники на декартовій сітці, і це стане очевідним- або просто думаємо про це так : 2 = 4, і додавши ще одне позитивне число до цього (і зводячи в квадрат негативне число, завжди отримуємо позитивне) не може привести до результату менше, ніж 4. Таким чином, якщо один компонент з х або у комплексного числа має величину 2 або більше, абсолютне значення цього числа більше або дорівнює 2, і уникає безлічі Мандельброта.
  • Для розрахунку "віртуальної ширини" кожної клітини, розділимо "віртуальний діаметр" на "кількість клітин мінус один". Ми використовуємо віртуальний діаметр 4 в наведених вище прикладах, так як ми хочемо показати все, що в радіусі 2 (безліч Мандельброта обмежено значенням 2). Для 3-стороннього наближення, яке `4 / (3 - 1)` , яке дорівнює `4/2` , що відповідає `2` . Для 9-сторонньої площі, це `4 / (9 - 1)` , яке дорівнює `4/8` , що відповідає `0,5` . Використовуйте той же розмір віртуальних клітин і для висоти і ширини, навіть якщо ви робите одну сторону довше інший- в іншому випадку безліч буде спотворено.

Попередження

  • Математика може стати дуже захоплюючою, як і все інше, але це, ймовірно, не буде шкодити вашої печінки або викликати рак легенів.