Як знайти квадратний корінь числа вручну

До появи калькуляторів студенти та викладачі обчислювали квадратні корені вручну. Існує кілька способів обчислення квадратного кореня числа вручну. Деякі з них пропонують тільки приблизне рішення, інші дають точну відповідь.

Метод 1 з 2: Розклад на прості множники

1
Розкладіть подкоренное число на множники, які є квадратними числами. Залежно від подкоренного числа, ви отримаєте приблизний або точну відповідь. Квадратні числа - числа, з яких можна отримати цілий квадратний корінь. Множники - числа, які при перемножуванні дають вихідне число. Наприклад, множителями числа 8 є 2 і 4, так як 2 х 4 = 8, числа 25, 36, 49 є квадратними числами, так як v25 = 5, v36 = 6, v49 = 7. Квадратні множники - це множники, які є квадратними числами. Спочатку спробуйте розкласти подкоренное число на квадратні множники.
- Наприклад, обчисліть квадратний корінь з 400 (вручну). Спочатку спробуйте розкласти 400 на квадратні множники. 400 кратно 100, тобто ділиться на 25 - це квадратне число. Розділивши 400 на 25, ви отримаєте 16, яке також є квадратним числом. Таким чином, 400 можна розкласти на квадратні множники 25 і 16, тобто 25 х 16 = 400.
- Запишіть це як: v400 = v (25 х 16).
2
Квадратні корінь з добутку деяких членів дорівнює добутку квадратних коренів з кожного члена, тобто v (а х b) = va x vb. Скориставшись цим правилом, вийміть квадратний корінь з кожного квадратного множника і перемножте отримані результати, щоб знайти відповідь.
- У нашому прикладі витягніть корінь з 25 і з 16.
  - v (25 х 16)
  - v25 х v16
  - 5 х 4 = 20
3
Якщо подкоренное число не розкладається на два квадратних множника (а це відбувається в більшості випадків), ви не зможете знайти точну відповідь у вигляді цілого числа. Але ви можете спростити завдання, розклавши подкоренное число на квадратний множник і звичайний множник (число, з якого цілий квадратний корінь витягти не можна). Потім ви витягнете квадратний корінь з квадратного множника і будете витягувати корінь з звичайного множника.
- Наприклад, обчисліть квадратний корінь з числа 147. Число 147 не можна розкласти на два квадратних множника, але його можна розкласти на наступні множники: 49 і 3. Вирішіть задачу таким чином:
  - v147
  - = V (49 х 3)
  - = V49 х v3
  - = 7v3
4
Тепер ви можете оцінити значення кореня (знайти приблизне значення), порівнявши його зі значеннями коренів квадратних чисел, що знаходяться найближче (з обох сторін на числової прямої) до подкоренное числу. Ви отримаєте значення кореня у вигляді десяткового дробу, яку необхідно помножити на число, що стоїть за знаком кореня.
- Повернемося до нашого прикладу. Подкоренное число 3. Найближчими до нього квадратними числами будуть числа 1 (v1 = 1) і 4 (v4 = 2). Таким чином, значення v3 розташоване між 1 і 2. Та як значення v3, ймовірно, ближче до 2, ніж до 1, то наша оцінка: v3 = 1,7. Множимо це значення на число у знака кореня: 7 х 1,7 = 11,9. Якщо ви зробите розрахунки на калькуляторі, то отримаєте 12,13, що досить близько до нашого відповіді.
  - Цей метод також працює з великими числами. Наприклад, розглянемо v35. Подкоренное число 35. Найближчими до нього квадратними числами будуть числа 25 (v25 = 5) і 36 (v36 = 6). Таким чином, значення v35 розташоване між 5 і 6. Та як значення v35 набагато ближче до 6, ніж до 5 (бо 35 всього на 1 менше 36), то можна заявити, що v35 трохи менше 6. Перевірка на калькуляторі дає нам відповідь 5,92 - ми були праві.
5
Ще один спосіб - розкладіть подкоренное число на прості множники. Прості множники - числа, які діляться тільки на 1 і самих себе. Запишіть прості множники в ряд і знайдіть пари однакових множників. Такі множники можна винести за знак кореня.
- Наприклад, обчисліть квадратний корінь з 45. Розкладаємо подкоренное число на прості множники: 45 = 9 х 5, а 9 = 3 х 3. Таким чином, v45 = v (3 х 3 х 5). 3 можна винести за знак кореня: v45 = 3v5. Тепер можна оцінити v5.
- Розглянемо інший приклад: v88.
  - v88
  - = V (2 х 44)
  - = V (2 х 4 х 11)
  - = V (2 х 2 х 2 х 11). Ви отримали три множника 2- візьміть пару з них і винесіть за знак кореня.
  - = 2v (2 х 11) = 2v2 х v11. Тепер можна оцінити v2 і v11 і знайти приблизний відповідь.

Метод 2 з 2: Обчислення квадратного кореня вручну

За допомогою ділення в стовпчик

1
Цей метод включає процес, аналогічний поділу в стовпчик, і дає точну відповідь. Спочатку проведіть вертикальну лінію, яка ділить лист на дві половини, а потім праворуч і трохи нижче верхнього краю аркуша до вертикальної лінії прірісуйте горизонтальну лінію. Тепер розділіть подкоренное число на пари чисел, починаючи з дробової частини після коми. Так, число +79520789182,47897 записується як "7 95 20 78 91 82, 47 89 70".
- Для прикладу обчислимо квадратний корінь числа 780,14. Намалюйте дві лінії (як показано на малюнку) і зліва зверху напишіть дане число у вигляді "7 80, 14". Це нормально, що перша зліва цифра є непарною цифрою. Відповідь (корінь з даного числа) будете записувати праворуч зверху.
2
Для першої зліва пари чисел (або одного числа) знайдіть найбільше ціле число n, квадрат якого менше або дорівнює розглянутої парі чисел (або одного числа). Іншими словами, знайдіть квадратне число, яке розташоване найближче до першої зліва парі чисел (або одному числу), але менше, та вийміть квадратний корінь з цього квадратного числа- ви отримаєте число n. Напишіть знайдене n зверху справа, а квадрат n запишіть знизу праворуч.
- У нашому випадку, перший зліва числом буде число 7. Далі, 4 < 7, то есть 2 < 7 и n = 2. Напишите 2 сверху справа - это первая цифра в искомом квадратном корне. Напишите 2?2=4 справа снизу- вам понадобится это число для последующих вычислений.
3
Відніміть квадрат числа n, яке ви тільки що знайшли, з першої зліва пари чисел (або одного числа). Результат обчислення запишіть під від`ємником (квадратом числа n).
- У нашому прикладі відніміть 4 з 7 і отримаєте 3.

4
Знесіть другу пару чисел і запишіть її близько значення, отриманого в попередньому кроці. Потім подвійте число зверху справа і запишіть отриманий результат знизу праворуч з додаванням "_? _ =".
- У нашому прикладі другою парою чисел є "80". Запишіть "80" після 3. Потім, подвоєне число зверху справа дає 4. Запишіть "4 _? _ =" Знизу праворуч.
5
Знайдіть таке найбільше число на місце прокреслень праворуч (замість прокреслень потрібно підставити одне і теж число), щоб результат множення був менше або дорівнює поточного числу зліва.
- У нашому випадку, якщо замість прокреслень поставити число 8, то 48 х 8 = 384, що більше 380. Тому 8 - занадто велике число, а ось 7 підійде. Напишіть 7 замість прокреслень і отримаєте: 47 х 7 = 329. Запишіть 7 зверху справа - це друга цифра в шуканому квадратному корені числа 780,14.
6
Відніміть отримане число з поточного числа зліва. Запишіть результат з попереднього кроку під поточним числом ліворуч, знайдіть різницю і запишіть її під від`ємником.
- У нашому прикладі, відніміть 329 з 380, що дорівнює 51.
7
Повторіть крок 4. Якщо зноситься парою чисел є дрібна частина вихідного числа, то поставте роздільник (кому) цілої і дробової частин у шуканому квадратному корені зверху справа. Зліва знесіть вниз наступну пару чисел. Подвійте число зверху справа і запишіть отриманий результат знизу праворуч з додаванням "_? _ =".
- У нашому прикладі наступної зноситься парою чисел буде дрібна частина числа 780,14, тому поставте роздільник цілої і дробової частин у шуканому квадратному корені зверху справа. Знесіть 14 і запишіть у 51. подвоєння числа зверху справа (27) буде 54, тому напишіть "54 _? _ =" Знизу праворуч.
8
Повторіть кроки 5 і 6. Знайдіть таке найбільше число на місце прокреслень праворуч (замість прокреслень потрібно підставити одне і теж число), щоб результат множення був менше або дорівнює поточного числу зліва.
- У нашому прикладі 549 х 9 = 4941, що менше поточного числа зліва (5114). Напишіть 9 зверху справа і відніміть результат множення з поточного числа ліворуч: 5114 - 4941 = 173.
9
Якщо для квадратного кореня вам необхідно знайти більше знаків після коми, напишіть пару нулів у поточного числа зліва і повторюйте кроки 4, 5 і 6 до тих пір, поки не отримаєте потрібну вам точність відповіді (число знаків після коми).

Пояснення процесу

1
Для засвоєння даного методу уявіть число, квадратний корінь якого необхідно знайти, як площа квадрата S. У цьому випадку ви будете шукати довжину сторони L такого квадрата. Обчислюємо таке значення L, при якому L? = S.
2
Позначимо через A першу цифру в значенні L (шуканий квадратний корінь). B буде другою цифрою, C - третій і так далі.
3
Позначимо через S_a першу пару цифр у значенні S, через S_b - другу пару цифр і так далі.
4
Як і в операції ділення, де кожен раз нас цікавить тільки одна наступна цифра діленого числа, при обчисленні квадратного кореня ми послідовно працюємо з парою цифр (для отримання однієї наступної цифри у значенні квадратного кореня).
5
Розглянемо першу пару цифр Sa числа S (Sa = 7 у нашому прикладі) і знайдемо її квадратний корінь. У цьому випадку першою цифрою A шуканого значення квадратного кореня буде така цифра, квадрат якої менше або дорівнює S_a (Тобто шукаємо таке A, при якому виконується нерівність A?? Sa < (A+1)?). В нашем примере, S1 = 7, и 2? ? 7 < 3?- таким образом A = 2.
- Припустимо, що потрібно розділити 88962 на 7 тут перший крок буде аналогічним: розглядаємо першу цифру діленого числа 88962 (8) і підбираємо таке найбільше число, яке при множенні на 7 дає значення менше або рівне 8. Тобто шукаємо таке число d, при якому вірно нерівність: 7? d? 8 < 7?(d+1). В этом случае d будет равно 1.
6
Ви шукайте L, тобто довжину сторони квадрата, площа якого дорівнює S. A, B, C - цифри в числі L. Ще одним способом записи цього є 10А + B = L (для двозначного числа) або 100А + 10В + С = L (для тризначного числа) і так далі.
- Нехай (10A + B)? = L? = S = 100A? + 2? 10A? B + B?. Запам`ятайте, що 10A + B - це таке число, у якого цифра B означає одиниці, а цифра A - десятки. Наприклад, якщо A = 1 і B = 2, то 10A + B дорівнює числу 12.(10A + B)? - це площа всього квадрата, 100A? - площа великого внутрішнього квадрата, B? - площа малого внутрішнього квадрата, 10A? B - площа кожного з двох прямокутників. Склавши площі описаних фігур, ви знайдете площа вихідного квадрата.
7
Відніміть A? з S_a. Для обліку множника 100, ви зносите одну пару чисел (S_b) З S: вам потрібно, щоб "SaSb" було рівним загальної площі квадрата, і з неї ви вичитаєте 100A? (Площа великого квадрата). В результаті отримаєте число N1, що стоїть ліворуч в кроці 4 (N = 380 у нашому прикладі). N1 = 2? 10A? B + B? (Площа двох прямокутників плюс площа малого квадрата).
8
Вираз N1 = 2? 10A? B + B? можна записати як N1 = (2? 10A + B)? B. Вам відомо значення N1 (= 380) і A (= 2) і необхідно обчислити B. Швидше за все, B не є цілим числом, тому необхідно знайти найбільше ціле B, що задовольняє умові: (2? 10A + B)? B? N1. При цьому B + 1 буде занадто великим, тому N1 < (2?10A + (B+1)) ? (B+1).
9
Для вирішення помножте A на 2, переведіть результат в десятки (що еквівалентно множенню на 10), помістіть B в положення одиниць, і помножте це число на B. Це число (2? 10A + B)? B і цей вислів абсолютно ідентично записи "N _? _ =" (Де N = 2? A) зверху справа в кроці 4. А в кроці 5 ви знаходите найбільше ціле B, яке ставиться на місце прокреслень і відповідає нерівності: (2? 10A + B)? B? N1.
10
Відніміть площа (2? 10A + B)? B із загальної площі (ліворуч за крок 6), що дасть вам площа S- (10A + B) ?, яка ще не враховувалася (і яка допоможе обчислити наступні цифри).
11
Для обчислення наступної цифри C повторіть процес: зліва знесіть наступну пару цифр (Sc) з S для отримання N2 і знайдіть найбільше C, що задовольняє умові (2? 10? (10A + B) + C)? C? N2 (що еквівалентно дворазовому написання числа з пари чисел "AB" з відповідним "_? _ =", І знаходженню найбільшого числа, яке можна підставити замість прокреслень).

Поради

Переміщення десяткового роздільника при збільшенні числа на 2 цифри (множник 100), переміщує десятковий розділити на одну цифру в значенні квадратного кореня цього числа (множник 10).
У нашому прикладі, 1,73 може вважатися залишком: 780,14 = 27,9? + 1,73.
Цей метод вірний для будь-яких чисел.
Записуйте процес обчислення в тому вигляді, який вам найбільш зручний. Наприклад, деякі записують результат над вихідним числом.
Альтернативний метод з використанням неперервних дробів включає формулу: vz = v (x ^ 2 + y) = x + y / (2x + y / (2x + y / (2x + ...))). Наприклад, для обчислення квадратного кореня з 780,14, цілим числом, квадрат якого близький до 780,14 буде число 28, тому z = 780,14, x = 28, y = -3,86. Підставляючи ці значення в рівняння і вирішуючи його у спрощенні до х + у / (2x), вже у молодших членах отримуємо результат 78207/2800 або близько 27,931 (1), а в наступних членах 4374188/156607 або близько 27,930986 (5) . Рішення кожного наступного члена додає близько 3 цифр до дробової частки в порівнянні з попередньому членом.

Попередження

Не забудьте розділити число на пари, починаючи з дробової частини числа. Наприклад, розділяючи +79520789182,47897 як "79 52 07 89 18 2,4 78 97 ", ви отримаєте безглузде число.