Як інтегрувати методом підстановки
Ця стаття передбачає, що у вас є елементарні знання з інтегрування функцій. Суть даного методу полягає в тому, що в розгляд вводиться нова змінна інтегрування або, що теж саме, робиться підстановка. Після цього заданий в умові інтеграл зводиться або до табличного інтегралу, або до нього що зводиться.
Кроки
1
У нас є простий тригонометричний інтеграл. Нам відомо:
2
Пам`ятайте, що, з цього аж ніяк не випливає що:
3
Спробуйте знайти похідну sin (3x), ви побачите, що вона не дорівнює cos (3x). Чого не вистачає? Напевно, ви вже знаєте. Перед тим, як продовжувати, давайте проаналізуємо стандартне правило заміни.
4
Зауважте, що ми створюємо нову змінну `u` і робимо так, що u = g (x). Ось, що це для нас означає: f (x) = cos (3x) і g (x) = 3x. g `(x) = 3. Знайти f (x) і g (x) зазвичай найскладніше для новачків. Пам`ятайте, що u = g (x), і до кінця прикладу ми будемо використовувати `u`. Ми можемо сміливо використовувати `u`, знайти його похідну і перемістити постійну на сторону `du`.
5
Пам`ятайте, що ми намагаємося постійно використовувати `u`, нову змінну, яку ми ввели в рівняння. Тобто, тепер у нас виходить таке рівняння: ми зробили так, що u = 3x, тому що g (x) = 3x. Тоді ми беремо похідну від `u`, оскільки нам треба замінити `dx.` Відповідно до загального правила, постійні завжди переносяться на сторону `du`, що ми і зробили з постійною 3. Тепер давайте зробимо заміну.
6
Давайте перевіримо, чи всі ми врахували в наших обчисленнях. Ми замінили dx на du / 3. 3x ми замінили на `u`. Все в порядку. Щоб ще більше спростити наше рівняння, винесемо 1/3 з інтеграла, а потім проинтегрируем:
7
Зауважте, що раніше нам не вистачало 1/3> Тепер ми можемо спокійно перейти до інтегрування, так що, оскільки u = 3x, ми робимо ще одну заміну, щоб функція знову стала орієнтована на `x`. От і все!
Поради
- Тренуйтеся!
