Як знайти зворотну функцію

Однією з найважливіших складових алгебри є поняття зворотної функції. Зворотній функції позначається як f ^ -1 (х) і графічно представляється як відображення графіка вихідної функції відносно прямої у = х. У цій статті розповідається, як знайти зворотну функцію.

Кроки

  1. 1

    Переконайтеся, що дана функція биективная. Тільки биективная функції мають зворотні функції.
    • Функція биективная, якщо вона проходить тест вертикальної і горизонтальної прямими. Проведіть вертикальну пряму через графік функції і підрахуйте кількість разів, пряма перетинає графік функції. Потім проведіть горизонтальну пряму через графік функції і підрахуйте кількість разів, пряма перетинає графік функції. Якщо кожна пряма перетинає графік функції тільки один раз, то функція биективная.
      • Якщо графік не проходить тест вертикальної прямої, то він не заданий функцією.
    • Для алгебраїчного визначення биективная функції підставте f (а) і f (b) в дану функцію і визначте, чи виконується рівність a = b. Як приклад розглянемо функцію f (x) = 3x + 5.
      • f (a) = 3a + 5- f (b) = 3b + 5
      • 3a + 5 = 3b + 5



      • 3a = 3b
      • a = b
    • Таким чином, дана функція биективная.

  2. 2

    У даній функції поміняйте місцями «х» і «у». Пам`ятайте, що f (х) інше написання «у».
    • "F (x)" або "y" являє собою функцію, а "х" - змінну. Щоб знайти зворотну функцію, потрібно поміняти місцями функцію і змінну.


    • Приклад: Розглянемо функцію f (x) = (4x + 3) / (2x + 5), яка є биективная. Помінявши місцями «х» і «у», отримаєте x = (4y + 3) / (2y + 5).

  3. 3

    Знайдіть «у». Вирішіть нове рівняння і знайдіть «у».
    • Рішення нашого прикладу:
      • х = (4y + 3) / (2y + 5)
      • х (2y + 5) = 4y + 3 - позбудьтеся від дробу. Для цього помножте обидві частини рівняння на знаменник дробу (2у + 5).
      • 2xy + 5x = 4y + 3 - розкрийте дужки.
      • 2xy - 4y = 3 - 5x - перенесіть всі члени зі змінною (в даному випадку це «у») на одну сторону рівняння.
      • у (2x - 4) = 3 - 5x - винесіть «у» за дужку.
      • у = (3 - 5x) / (2x - 4) - розділіть обидві частини рівняння на (2х-4), щоб отримати остаточну відповідь.

  4. 4

    Замініть «у» на f ^ -1 (х). Це є зворотна функція для вихідної функції.
    • Остаточну відповідь: f ^ -1 (x) = (3 - 5x) / (2x - 4). Це зворотна функція для f (х) = (4x + 3) / (2x + 5).