Як брати похідну в математичному аналізі

Похідну функції можна використовувати для того, щоб отримати корисну інформацію про графік, наприклад, дізнатися положення максимумів, мінімумів, піків, западин і характер нахилу. Ви навіть можете використовувати їх для побудови на графіку складних рівнянь без застосування графічного калькулятора! На жаль, знаходження похідної може бути стомлюючої завданням, але ця стаття допоможе вам дізнатися деякі прийоми та спритності.

Кроки

1
Ознайомтеся з формою позначення похідної. Наступні дві форми позначення є найбільш поширеними, однак на Вікіпедії можна знайти величезну кількість інших here.
- Позначення Лейбніца. Це позначення є найбільш поширеним у випадках, коли функція включає y і x. dy / dx буквально означає "похідна y по відношенню до x." Зручно представити похідну у вигляді відношення нескінченно малих різниць? Y /? X. Це пояснення є наслідком визначення похідної через межа: lim_{h-> 0} (F (x + h) -f (x)) / h. Використовуючи дане позначення для другої похідної, ви повинні написати: dy / dx.
- Позначення Лагранжа. Похідну функції можна також записати як f `(x). Це позначення читається як "f штрих від x". Це позначення коротше позначення Лейбніца, воно корисне при розгляді похідною як функції. Щоб утворити похідні вищих порядків, просто додайте до "f" нові "`". Так, друга похідна буде мати вигляд f `` (x).
2
З`ясуйте, що таке похідна і навіщо вона потрібна. По-перше, для знаходження нахилу прямої залежності, беруться дві точки на прямій, і їх координати підставляються в рівняння (y₂ - y₁) / (X₂ - x₁). Тим не менш, це може бути використано тільки для лінійних залежностей. Для квадратичних залежностей і вище лінія буде кривої, тому визначення "різниці" двох точок не може бути точним. Щоб знайти нахил дотичної до криволинейному графіком, беруться дві точки, які підставляються в стандартне рівняння визначення нахилу дотичної до кривої: [f (x + dx) - f (x)] / dx. Dx означає "delta x," що є різницею між двома x-координатами графіка. Зверніть увагу, що цей вислів аналогічно (y₂ - y₁) / (X₂ - x₁), Просто в іншій формі. Оскільки вже відомо, що результат не буде точним, застосовується непрямий підхід. Щоб знайти нахил дотичної в точці (x, f (x)), dx має прагнути до 0, так що дві обрані точки зіллються в одну. Втім, ми не можемо ділити на 0, тому, підставивши обидва значення координат точки, ви повинні будете розкласти вираз на множники і використовувати інші методи для скорочення dx в нижній частині виразу. Зробивши це, прийміть dx = 0 і вирішите рівняння. Це і буде кутом нахилу в точці (x, f (x)). Похідна вирази - це загальний вираз для знаходження нахилу будь дотичної до графіка. Це може здаватися надзвичайно складним, але декілька прикладів, наведених нижче, допоможуть вам зрозуміти процес знаходження похідної.

Метод 1 з 4: Диференціювання явних функцій

1
Використовуйте диференціювання явних функцій, коли ваше вираз вже має y, розташований в одній його частині.
2
Підставте вираз у вираз [f (x + dx) - f (x)] / dx. Наприклад, якщо ваше рівняння має вигляд y = x, похідна буде мати вигляд [(x + dx) - x] / dx.

3
Розкрийте дужки, а потім винесіть dx за дужки, отримавши рівняння [dx (2x + dx)] / dx. Тепер ви можете скоротити два dx у верхній і нижній частинах дробу. В результаті ви отримаєте 2x + dx, і коли dx прагне до 0, то похідна дорівнює 2x. Це означає, що нахил будь дотичної до графіка y = x дорівнює 2x. Просто підставте значення x точки, в якій ви хочете знайти нахил.
4
Вивчіть схеми знаходження похідної функцій подібного типу. Нижче наведено кілька з них.
- Похідна статечної функції дорівнює добутку показника ступеня і підстави в ступені на одиницю менше. Наприклад, похідна x дорівнює 5x, а похідна x дорівнює 3.5x. Якщо перед x вже є число, просто помножте його на ступінь. Наприклад, похідна 3x дорівнює 12x.
- Похідна будь-якого числа дорівнює 0. Інакше кажучи, похідна 8 дорівнює 0.
- Похідна суми - це сума окремих похідних. Наприклад, похідна x + 3x дорівнює 3x + 6x.
- Похідна твору - це твір першого множника на похідну другого плюс добуток другого множника на похідну першого. Наприклад, похідна x (2x + 1) дорівнює x (2) + (2x + 1) 3x, що дорівнює 8x + 3x.
- Похідна дробу (скажімо, f / g) - це [g (похідна f) - f (похідна g)] / g. Наприклад, похідна (x + 2x - 21) / (x - 3) дорівнює (x - 6x + 15) / (x - 3).

Метод 2 з 4: Диференціювання неявних функцій

1
Використовуйте диференціювання неявно виражених функцій, коли у вашому виразі не можна виділити y на одній зі сторін. Навіть якщо ви змогли записати його з y в одній частині, обчислення dy / dx буде громіздким. Нижче наведені приклади знаходження похідної для виразів такого типу.
2
У цьому прикладі: xy + 2y = 3x + 2y, замініть y на f (x), щоб запам`ятати, що y насправді - функція. Вираз прийме вигляд xf (x) + 2 [f (x)] = 3x + 2f (x).
3
Щоб знайти похідну цього виразу, продіфференціруйте (розумне слово, що означає знайти похідну) обидві сторони рівняння по x. Вираз стане xf `(x) + 2xf (x) + 6 [f (x)] f` (x) = 3 + 2f `(x).
4
Знову замініть f (x) на y. Будьте уважні і не зробіть того ж для f `(x), що відрізняється від f (x).
5
Знайдіть f `(x). Відповідь на це приклад приймає вигляд (3 - 2xy) / (x + 6y - 2).

Метод 3 з 4: Похідні вищого порядку

1
Взяти похідну вищого порядку функції означає взяти похідну похідної (у разі порядку, рівного 2). Наприклад, якщо вас просять взяти похідну третього порядку, просто візьміть похідну похідною похідної. Для деяких висловів, похідні вищих порядків приймають нульове значення.

Метод 4 з 4: Правило ланцюжка

1
Якщо y - це диференціюється функція z, а z - диференційована функція x, y - це складна функція x, а похідна y по x (dy / dx) дорівнює (dy / du) * (du / dx). Правило ланцюжка також відноситься до складних статечним виразами, наприклад: (2x - x). Щоб знайти похідну, просто застосуйте правило твору. Помножте вираз на ступінь і зменшіть ступінь на одиницю. Потім помножте вираз на похідну підстави (у нашому випадку воно дорівнює 2x ^ 4 - x). Відповідь на це приклад виглядає так: 3 (2x - x) (8x - 1).

Поради

Коли ви бачите, що вам потрібно вирішити просто величезний приклад - не хвилюйтеся. Розбийте його на якомога більше найдрібніших шматків, застосовуючи правила добутку, дробу і т.д. Після цього приступайте до диференціювання окремих частин.
Потренуйтеся використовувати правила добутку, дробу, ланцюжків і особливо - диференціювання функцій в неявній формі, оскільки вони є дуже складною частиною матаналізу.
Вмійте користуватися калькулятором- пробуйте використовувати різні функції вашого калькулятора, щоб дізнатися його можливості. Особливо корисно знати функції дотичній і похідної, якщо вони є у вашому калькуляторі.
Запам`ятайте похідні основних тригонометричних функцій і те, як з ними поводитися.

Попередження

Не забудьте, що при використанні правила дробу перед f (похідна g) ставиться знак мінус-це поширена помилка і забувши його, ви отримаєте неправильну відповідь.