Як виразити показову функцію через початкову величину і темп її зміни
Показові функції описують темп зміни багатьох величин, у тому числі зростання населення, радіоактивний розпад, зростання колонії бактерій, складні відсотки. Ця стаття розповість вам, як висловити показову функцію через початкову величину і темп її зміни.
Кроки
Метод 1 з 2: Використання ставки в якості підстави ступеня
1
Розглянемо приклад. Початкова сума на банківському рахунку складає $ 1000, а кумулятивна річна процентна ставка дорівнює 3%. Запишіть показову функцію, що описує процес накопичення на такому рахунку.
2
Основний вид показовою функції - f (t) = P(1 + r), де P0 - початкова величина, t - тимчасова змінна, r - процентна ставка, h - кількість часових періодів (у змінній t).
3
У функцію підставте значення початкової величини P і процентної ставки r. Ви отримаєте функцію виду: f (t) = 1000 (1,03).
4
Знайдіть h. Щороку внесок збільшується на 3%, тобто він збільшується на 3% кожні 12 місяців. Так як вам потрібно висловити t в місцях, ви повинні розділити t на 12- таким чином, t = 12. Ви отримаєте функцію виду: f (t) = 1000 (1,03).
Метод 2 з 2: Використання «е» в якості підстави ступеня
1
Визначення. «Е» - це математична константа (число Ейлера), приблизно рівна 2,72. Показова функція, у якої в якості підстави виступає «е», називається експоненціальною функцією.
2
Розглянемо приклад. Період напіврозпаду ізотопу вуглецю становить 50 років. (Період напіврозпаду - час, протягом якого кількість радіоактивних ядер зменшується вдвічі.) Запишіть показову функцію, що описує процес розпаду 500 г ізотопу вуглецю.
3
Основний вид показовою функції - f (t) = ae, де а - початкова величина, е - число Ейлера, k - деякий коефіцієнт пропорційності, t - тимчасова змінна.
4
Підставте значення початкової величини. Ви отримаєте функцію виду: f (t) = 500e.
5
Знайдіть коефіцієнт пропорційності. Він характеризує темп зміни графіка функції. Ви знаєте, що через 50 років залишиться 250 г ізотопу вуглецю. Тобто, якщо t = 50, то f (50) = 250. Підставте ці значення у функцію, запишіть показове рівняння і вирішите його: 250 = 500e. Спочатку розділіть обидві частини рівняння на 500 і ви отримаєте: 1/2 = e. Тепер візьміть натуральний логарифм від обох сторін рівняння: ln (1/2) = 50k (ln (e)) (згідно властивостям логарифмів, показник аргументу логарифма можна винести за знак логарифма, тобто ln e = 50k (ln (e))) . Далі, згідно властивостям логарифмів, логарифм з рівними аргументом і підставою дорівнює 1, тобто ln e = 1. Таким чином, рівняння спрощується до: ln (1/2) = 50k, і k = (ln (1/2)) / 50? -0,01386. Зверніть увагу, що це негативне значення. Якщо коефіцієнт негативний, то це функція убивает- в іншому випадку функція зростає.6
Підставте значення k. Остаточний вигляд функції:- f (t) = 500e.
Поради
- Для отримання точних значень функції збережіть значення k в калькуляторі (точне значення, а не округлене). При побудові графіка не переплутайте незалежну змінну - в описаних прикладах вона позначається як «t».
- Ви швидко навчитеся визначати ситуації, відповідні одній з вищеописаних функцій. Як правило, завдання легше вирішити, скориставшись першою функцією, але бувають випадки, коли необхідно використовувати експонентну функцію.
