Як розрахувати перетворення Фур'є функції

Перетворення Фур`є легко зрозуміти, якщо простежити за його послідовними етапами, виконаними в правильному порядку. Перетворення Фур`є лежить в основі багатьох досягнень сучасної цивілізації, в тому числі мобільного зв`язку, цифрової фотографії, лазерів і оптики. Перетворення Фур`є розвинулося далі і втілилося в таких методах і засобах, як дискретне перетворення Фур`є, вейвлет-аналізі (вживаному в широко відомих JPeg і MPeg форматах), розпізнаванні образів, фінансової математики, рентгенографії та багатьох інших.

Кроки

1. 1

   Дізнайтеся, що таке періодична функція. Періодична функція приймає одні й ті ж значення через певний проміжок часу. Тобто f ( t ) = f ( t + nT), де n позначає будь-яке ціле число.
   • Ці проміжки часу називаються періодом. У наведеному вище рівність буквою T позначений період.

# Ознайомтеся з основною ідеєю перетворення Фур`є.

1. 1

   • Будь періодична функція може бути розкладена на складові, що представляють собою синусоїдальні функції з простими періодами.
   • Кожна синусоїдальна функція буде мати частоту, рівну основній частоті, помноженої на ціле число.

Наведене вище рівність говорить про те, що будь-яка періодична функція може бути записана (або розкладена) у вигляді суми. # * Постійної величини? a₀, званої також нульовим значенням, і набору синусоїдальних функцій. Для певних функцій частина розкладання може дорівнювати нулю.

1. 1

   • ?₀ є основною циклічною частотою, яка легко обчислюється з основного періоду T.
   • Залишається лише знайти a₀ і формулу для знаходження повного набору a_n і повного набору b_n. Це можна зробити, використавши властивість ортогональності синусоид.

2. 2

   Ознайомтеся з тим, що означає поняття ортогональних функцій. Ортогональні функції перпендикулярні один одному. Це означає, що якщо ви виберете будь-які дві функції, позначимо їх f ( t ) і g ( t ), з набору ортогональних функцій, то

   • Orthogonality

   
   
   
   
   
   • Синусоїдальні функції як раз утворюють такий набір ортогональних функцій.
   • Порівняйте це з поняттям перпендикулярних векторів, скалярний добуток яких дорівнює нулю. Скалярний добуток двох векторів - це сума добутків їх відповідних координат. У нашому випадку замість твору використовується інтеграл.

3. 3

   Усвідомте різницю між вектором і вектором на комплексній площині.
   • Вектор переміщує будь-яку точку вздовж прямої лінії на деяку відстань.
   • Вектор на комплексній площині обертає вектор навколо його початкової точки з певною циклічною частотою ?. Таким чином вектор на комплексній площині - це вектор обертання.

4. 4

   Зауважте, що при обертанні вектора з постійною довжиною навколо його початкової точки проекція цього вектора на дійсну вісь (тінь, що відкидається їм на цю вісь) спочатку зменшується від максимального значення до нуля і далі до максимальної негативної величини, а потім знову зростає до максимального позитивного значення .

   • 

Довжина проекції (або тінь) обертового вектора на уявну вісь змінюється за синусоїдальним законом. # Звідси укладаємо, що синусоїда може бути записана у вигляді вектора на комплексній площині, що полегшує операції з рядами Фур`є. Порівняйте це з формою синусоїди. Всі труднощі з a₀a_nb_n дозволяються. Залишається лише один параметр a_k, який необхідно знайти. Обчислення зводяться до знаходження простого інтеграла f ( t ), дає значення всіх коефіцієнтів. Тобто вище згаданий шеф-кухар приготує вам будь торт з одного продукту.

1. 1

   Погляньте на розкладання функції f ( t ). Що невідомо в цьому розкладанні?
   • Необхідно обчислити нескінченне число коефіцієнтів a_k.
   
   
   
   • Всі коефіцієнти a_k легко знаходяться шляхом інтегрування функції f ( t ), і таким чином обчислюється їх повний набір.
     • Замість фрази повний набір використовують позначення {a_k }.
     • {A_k } Називається спектром функції f ( t ).
   • f ( t ) насправді є синтезом нескінченного числа векторів на комплексній площині, що мають різну довжину і обертаються в обох напрямках (за і проти годинникової стрілки) з частотами, які є гармоніками основної частоти ?₀ функції f ( t ), так як k приймає і позитивні, і негативні цілі значення.

2. 2

   Подивіться на пару формул як на перетворення, а не на розкладання в ряд. Якщо у вас є функція f ( t ), вам відомі і значення a_k. І навпаки, маючи a_k, ви можете знайти f ( t ). Величини a_k є перетворенням f ( t ). Значення f ( t ) являє собою зворотне перетворення значень a_k. Це можна представити як:

   

3. 

   3

   Примітка. Таким чином, існує два простору. f ( t ) являє собою простір часу, в той час як a_k -- простір цілих чисел. Тобто, перетворення Фур`є переводить один простір в інше, і навпаки.
   • У зв`язку з цим дане перетворення називають безперервним в часі.
   • Ті, хто вивчає хвилі, використовують осцилограф для того, щоб побачити безперервну в часі хвилю, і аналізатор спектру, коли хочуть розглянути лінії, або спектр даної хвилі.

4. 

   4

   Розгляньте найбільш поширені приклади. Наприклад, періодично відкривається і закривається прямокутний затвор. Або годинник, відбивають час через рівні проміжки. Або поїзд з фіксованим розкладом.
   • Перетворення Фур`є наведених вище функцій обчислюється досить легко, оскільки подинтегральная функція f ( t ) дорівнює одиниці на обмеженій ділянці, а у всіх інших точках її значення дорівнює нулю- таким чином, завдання зводиться до знаходження інтеграла від експоненційної функції, що дорівнює цій же функції незалежно від коефіцієнта. Достатньо лише знати, як перевести експоненту з комплексною ступенем в синусоїду, а також бути знайомим з функцією Sinc. Це наступна функція: Sinc ( x ) = Sin ( x ) / x. Вона унормовує синусоїду на кут, що нагадує знаходження процентної частки.

   • Sinc Function as the Envelope

     Накресліть лінію, огибающую значення a_k .
   • Накресліть огибающую величин |a_k |, щоб побачити максимуми, поступово затухаючі при видаленні від центральної (нульовий) точки.
   • Кожен пелюстка функції Sinc заповнений певним числом спектральних ліній.
   • Зменшення тривалості кожного імпульсу поїзда призводить до того, що зростає кількість ліній в спектрі, відстань між ними зменшується, і врешті-решт функція Sinc більше скидається на безперервну, а не дискретну функцію.

5. 5

   Тепер ви маєте перед собою графічне зображення розкладання в ряд Фур`є періодичної функції. Залишилося визначити, як буде виглядати перетворення Фур`є неперіодичної функції.

6. 

   6

   Очевидно, розкладання неперіодичної функції в ряд Фур`є буде не дискретної сумою, як у випадку періодичної функції, а безперервним інтегралом.
   • Це інтеграл Фур`є, на відміну від ряду Фур`є.

7. 7

   Таким чином, перетворення Фур`є функції безперервного часу "має вигляд ряду або інтеграла Фур`є.

8. 8

   Розглянемо одиничний імпульс прямокутної форми. Такий імпульс вийде у випадку, якщо заслінка відкривається і потім закривається лише один раз. Або ж кроковий двигун запускається і вимикається один раз.