Як знайти функцію, зворотну квадратичної функції

Знайти функцію, зворотну лінійної функції, легко: треба просто зробити «х» залежною змінною, а потім замінити «х» на «у». Цей процес значно ускладнюється у разі квадратичної функції.

Кроки

1. 

   1

   Виконуйте будь-які операції алгебри з обох сторін функції, щоб не змінити її.

2. 

   2

   Перепишіть функцію у вигляді y = a (xh) + k. Це не тільки спростить знаходження зворотної функції, але і дозволить визначити, чи має початкова функція зворотну. Ви можете зробити це двома способами:
   • Доповнення до повного квадрата.
     1. Винесіть коефіцієнт «а» (коефіцієнт при х) за дужку, а члени функції розділіть на коефіцієнт «а».
     2. Тепер коефіцієнт при «х» дорівнює b / а. Розділіть його на 2 і отримаєте b / 2a, а потім зведіть в квадрат: (b / 2a). Отримане значення одночасно додайте і відніміть з функції (щоб не поміняти її значення). Тепер три перших члени в дужках записуються у вигляді a + 2ab + b, де а = х, b = b / 2a (ці величини мають числові значення). Ці три перших члена є повним квадратом.
     
     
     
     
     
     3. Перші три члени можна записати у вигляді (ab) або (a + b) (знак залежить від знака коефіцієнта при «х» в вихідної функції).
     4. Що залишився член винесіть за дужки і отримаєте: y = a (xh) + k.
   • Порівняння коефіцієнтів.
     1. Зліва запишіть вихідну функцію, а праворуч - її бажаний вид (у нашому випадку a (xh) + k). Це дозволить вам знайти значення a, h, k, вірні при будь-якому значенні «х».
     2. Розкрийте дужки з правого боку рівняння (ліву частину взагалі не чіпайте).
     
     
     
     3. Визначте коефіцієнти при х і «х».
     4. Порівняйте коефіцієнти при х і «х» на правій і лівій сторонах рівняння - вони повинні бути рівні один одному. Це призводить до функції виду a (xh) + k), в якій замість «а» підставте знайдене значення. Коефіцієнт при x (або 1) на лівій стороні рівняння повинен бути рівний коефіцієнту на правій стороні. Порівнюючи їх, отримаєте рівняння, яке допоможе знайти значення k.
     5. Використовуючи знайдені значення а, h, k, ви можете написати функцію в потрібному вигляді.

3. 

   3

   Переконайтеся, що значення h лежить або на кордоні області визначення, або поза нею. Значення h - це координата «х» екстремуму функції. Якщо h лежить всередині області визначення, то вихідна функція не має зворотної функції. Зверніть увагу на знак в дужках: (x-h) + k. Таким чином, якщо дано (х + 3), то h = -3 (від`ємне значення).

4. 

   4

   Зробіть (xh) залежним виразом. Для цього відніміть k з обох сторін рівняння, а потім розділіть обидві сторони рівняння на «а».

5. 

   5

   Вийміть корінь з обох сторін рівняння. Ви позбудетеся від ступеня. Не забудьте поставити знак +/- на іншій стороні рівняння.

6. 

   6

   Визначте правильний знак (ви не можете залишити обидва знака). Для цього розгляньте область визначення. Якщо х < определенного значения, то выберите «-». Если х> певного значення, виберіть «+». Тепер зробіть «х» залежною змінною.

7. 

   7

   Замість «у» підставте «х», а замість «х» підставте f (x). Ви знайшли зворотну функцію.

Поради

• Перевірте відповідь, обчисливши f (х) для деякого значення «х», а потім підставте знайдене значення в зворотну функцію, щоб знайти початкове значення «х». Наприклад, якщо при х = 3, f (х) = 4, то, підставивши 4 в зворотну функцію, ви повинні отримати 3.
• Якщо можливо, перевірте відповідь, побудувавши графік оберненої функції. Він повинен мати вигляд графіка вихідної функції, але симетричний відносно прямої у = х.