Як визначити, чи сходиться нескінченний ряд
Нескінченні числові ряди нерідко призводять в замішання і відлякують, оскільки їх досить важко уявити собі подумки. З першого погляду складно сказати, сходиться ряд чи ні-кілька століть тому відповідь на таке питання зайняв би багато годин. Однак у наш час, завдяки зусиллям багатьох видатних математиків, ми володіємо набором нескладних прийомів, легко дозволяють вирішити задачу. Ці прийоми призначені для отримання відповіді на питання, сходиться ряд чи ні, а не для знаходження його суми. Для їхнього розуміння ви повинні також володіти основами обчислень.
Кроки
1
Проведіть попередню перевірку. Є проста теорема, яка свідчить, що якщо нескінченна сума функції f сходиться, то межа функції f дорівнює 0. Таким чином, якщо ми маємо функцію x ^ 2, то у неї немає межі, і її сума до нескінченності расходітся- з іншого боку, межа функції 1 / x дорівнює 0, так що її сума може сходитися. Якщо межа не дорівнює нулю, ми знаємо, що ряд розходиться. УВАГА: зворотне не вірно, тобто те, що межа дорівнює нулю, зовсім не означає, що ряд обов`язково сходиться. У цьому випадку необхідна подальша перевірка.
2
Геометричні ряди. Для цих рядів існує дуже просте правило, так що перш за все визначте, чи не є ваш ряд геометричним. Геометричний ряд - це послідовність чисел, кожен член якої можна представити у вигляді r ^ k, де k - змінна, а r - число, яке лежить в інтервалі між -1 і 1. Геометричні ряди завжди сходяться. Більше того, ви легко можете визначити суму такого ряду, яка дорівнює 1 / (1-r).
3
Узагальнені гармонійні ряди, або ряди Діріхле. Таким поруч називається сума функцій виду 1 / (x ^ p), де x - будь-яке число. Теорема для цих рядів свідчить, що якщо p більше одиниці, ряд сходиться, якщо ж p менше або дорівнює одиниці, ряд розходиться. Це означає, що згаданий вище ряд 1 / x розходиться, так як його можна представити у вигляді 1 / (x ^ 1), де p = 1. Цей ряд називається гармонійним. Ряд 1 / (X ^ 2) сходиться, оскільки 2 більше 1.4
Інші ряди. Якщо ряд не належить одному з типів, зазначених вище, застосуйте до нього методи, наведені нижче. Якщо не допоміг один метод, застосуйте наступний, оскільки не завжди ясно, який з них слід вибрати. Хоча і не існує однозначних правил, з часом ви зможете краще орієнтуватися у виборі потрібного методу.- Метод порівняння. Припустимо, у вас є два ряди, що складаються з позитивних членів, a (n) і b (n). Тоді: 1) якщо нескінченна сума b (n) сходиться, і a (n) менше ніж b (n) (для будь-якого досить великого n), тоді сума a (n) також сходітся- 2) якщо b (n) розходиться, і a (n)> b (n), тоді a (n) теж розходиться. Наприклад, у вас є ряд 2 / x- ми можемо порівняти його з низкою 1 / x. Оскільки ми вже знаємо, що ряд 1 / x розходиться, і 2 / x> 1 / x, звідси випливає, що ряд 2 / x також розходиться. Таким чином, ідея методу полягає в тому, щоб визначити, сходиться чи ні досліджуваний ряд, використовуючи вже відомий ряд.
- Метод порівняння меж. Якщо a (n) і b (n) є рядами позитивних чисел, і якщо існує межа a (n) / b (n), який більше 0, тоді обидва ряди або сходяться, або розходяться. У цьому випадку досліджуваний ряд також порівнюється з ізвестним- метод полягає в тому, щоб підібрати відомий ряд, максимальний ступінь якого відповідає ступеню досліджуваного ряду. Наприклад, якщо ви розглядаєте ряд 1 / (x ^ 3 + 2x + 1), має сенс порівняти його з низкою 1 / (x ^ 3).
- Перевірка інтегралом. Якщо функція більше нуля, неперервна і зменшується при значеннях x більше або рівних 1, тоді нескінченний ряд f (n) сходиться, якщо визначений інтеграл від 1 до нескінченності від функції f (x) існує і має кінцеве значення-в іншому випадку ряд розходиться. Таким чином, досить проінтегрувати функцію і знайти межу при x, що прагне до нескінченності: якщо межа кінцевий, ряд сходиться, якщо ж межа дорівнює нескінченності, ряд розходиться.
- Знакозмінні ряди. Якщо a (k)> a (k + 1)> 0 при достатньо великих k, і межа a (n) дорівнює 0, тоді знакозмінний ряд (-1) ^ na (n) сходиться. Простіше кажучи, припустимо, що ваш ряд є знакозмінним (тобто його члени поперемінно позитивні і негативні) - у цьому випадку відкиньте знакозмінними частина функції і знайдіть межа того, що залишилося - якщо межа кінцевий, ряд сходиться.
- Метод відносини. Якщо дано нескінченний ряд a (n), знайдіть наступний член ряду a (n + 1). Потім обчисліть відношення наступного члена до попереднього a (n + 1) / a (n), у разі необхідності взявши його абсолютне значення. Знайдіть межа цього відношення при n прагне до бесконечності- якщо ця межа існує і кінцевий, це означає наступне: 1) якщо межа менше одиниці, ряд сходітся- 2) якщо межа більше одиниці, ряд расходітся- 3) якщо межа дорівнює одиниці, даний спосіб недостатній (ряд може як сходитися, так і розходитися).
- Це основні методи визначення збіжності рядів, і вони надзвичайно корисні. Якщо жоден з них не допоміг, цілком імовірно, що завдання не має рішення, або ж ви десь допустили помилку. Ці способи можуть бути використані і для інших рядів, таких як статечні ряди, ряди Тейлора і т.д. Володіння даними методами складно переоцінити, оскільки інших простих способів визначити відповідність низки не існує.
- Метод порівняння. Припустимо, у вас є два ряди, що складаються з позитивних членів, a (n) і b (n). Тоді: 1) якщо нескінченна сума b (n) сходиться, і a (n) менше ніж b (n) (для будь-якого досить великого n), тоді сума a (n) також сходітся- 2) якщо b (n) розходиться, і a (n)> b (n), тоді a (n) теж розходиться. Наприклад, у вас є ряд 2 / x- ми можемо порівняти його з низкою 1 / x. Оскільки ми вже знаємо, що ряд 1 / x розходиться, і 2 / x> 1 / x, звідси випливає, що ряд 2 / x також розходиться. Таким чином, ідея методу полягає в тому, щоб визначити, сходиться чи ні досліджуваний ряд, використовуючи вже відомий ряд.
Поради
- Завжди знаходите межа і перевіряйте, чи не відноситься ваш ряд до геометричних або узагальненим гармонійним рядах, перш ніж використовувати метод порівняння. Це дозволить вам зберегти багато часу і сил.
Попередження
- Не намагайтеся вирішити будь-яке завдання за допомогою калькулятора.
