Як робота з верхніми і нижніми межами множин
Безліч дійсних чисел S, вважається обмеженим, якщо воно звичайно, містить число, більше або рівне всім іншим числам в ньому, а також число менше або рівне всім іншим числам. Вам потрібно знайти верхню і нижню межі непорожнього безлічі дійсних чисел? Перейдіть до кроку 1.
Кроки
Метод 1 з 2: Вивчаємо основи
1
Поняття концепції верхньої межі. Якщо безліч дійсних чисел S включає в себе дійсне число A? R і при цьому кожне число підмножини S менше або дорівнює А, то S називається "обмеженим зверху", а A є верхньою межею. Математично це виражається таким чином:? X? S? X? A .. Якщо безліч S не має верхньої межі, то його називають "необмеженим зверху".- Якщо серед верхніх меж безлічі S існує найменший член, то це число називається "точна верхня межа" або "Супремум" множини і позначається як supS.
- Якщо безліч S має принаймні одну верхню межу, то існує нескінченно багато верхніх меж, більших, ніж це число.
2
Поняття концепції нижньої межі. Якщо безліч дійсних чисел S включає в себе дійсне число B? R і при цьому кожне число підмножини S більше або дорівнює B, то S називається "обмеженим знизу", а B є нижньою межею. Математично це виражається таким чином:? X? S? X? B. Якщо безліч S не має нижньої межі, то його називають "необмеженим знизу."- Якщо серед нижніх меж безлічі S є найбільший член, то цей елемент називається "нижня межа" або "інфімум" множини і позначається як infS.
- Якщо набір S має принаймні одну нижню межу, то існує нескінченно багато нижніх меж, менших, ніж це число.
Метод 2 з 2: Знаходимо верхні і нижні межі
1
Перевірте, обмежено чи ваше безліч зверху. Якщо для безлічі дійсних чисел S? A? R і при цьому? X? S? X? A, то A є верхньою межею S. Іншими словами, якщо існує дійсне число A, таке, що будь-яке число, вибране з множини, менше або одно йому, то безліч дійсно обмежена зверху.- У наведеному вище прикладі є дійсне число В, рівне -1/4, і будь-яке число з набору буде більше або дорівнює йому. Отже, безліч обмежена знизу.
2
Перевірте, обмежено чи ваше безліч знизу. Якщо для безлічі дійсних чисел S,? B? R і при цьому? X? S? X? B, то B є нижньою межею S. Іншими словами, якщо існує дійсне число B, таке, що будь-яке число, вибране з множини, більше або дорівнює йому, то безліч дійсно обмежена знизу.- У наведеному вище прикладі є дійсне число В, рівне -1/4, і будь-яке число з набору буде більше або дорівнює йому. Отже, безліч обмежена знизу.
3
Визначте, чи має ваше безліч Супремум. Якщо серед верхніх меж безлічі існує найменше число, то це число називається Супремум і позначається сервери supS.- У наведеному вище прикладі будь-яке число, більше 1 буде верхньою межею, але 1 є найменшою верхньою межею. Отже, 1 є супремуом вашого безлічі: supS = 1.
4
Визначте, чи має ваше безліч інфімум. Якщо серед нижніх меж безлічі існує найбільше число, то це число називається інфімум і позначається infS.- У наведеному вище прикладі, будь-яке число, менше, ніж -1/4 буде нижньою межею, але -1/4 є найбільшою нижньою межею. Отже, -1/4 є інфімуом вашого безлічі: infS = -1/4.
5
Знайдіть найбільший елемент вашого множини. Число є найбільшим елементом множини S, якщо a? S? X? S? X? A. Іншими словами, якщо ви виберете число з безлічі і будь-яке інше число з цієї безлічі буде менше або дорівнює йому, то вибране число є найбільшим елементом множини. Воно також називається "максимум".- У наведеному вище прикладі існує число a, що відповідає цій умові. Це число 1, отже, 1 є найбільшим елементом множини.
6
Знайдіть найменший елемент вашого множини. Число є найменшим елементом множини S, якщо b? S? X? S? X? B. Іншими словами, якщо ви виберете число з безлічі і будь-яке інше число з цієї безлічі буде більше або дорівнює йому, то вибране число є найменшим елементом множини. Воно також називається "мінімум".- У наведеному вище прикладі існує число b, що відповідає цій умові. Це число -1/4, отже, -1/4 є найменшим елементом множини.
7
Зверніть увагу на верхню і нижню межі вашого множини. Найбільше і найменше числа у вашому наборі є верхньою і нижньою межами відповідно- У наведеному вище прикладі, у вас є безліч, обмежене як зверху, так і знизу елементами зі значеннями 1 і -1/4 відповідно.
Поради
- Максимуми і мінімуми також називають "екстремумами".
- Якщо у безлічі існують Супремум і інфімум, то вони унікальні. Існування Супремум і інфімум у непорожніх множин, обмежених відповідно зверху і знизу, забезпечується аксіомою повноти в R. Дана аксіома стверджує, що кожне непорожнє безліч, обмежене зверху має Супремум, і кожне непорожнє безліч, обмежене знизу, має інфімум.
- Зверніть увагу, що ваш Супремум і інфімум не обов`язково повинні бути елементами вашого множини. Це одна з причин, по якій ви також повинні знайти найбільший і найменший елемент вашого множини.
