Як знайти математичну ймовірність

Обчислення ймовірностей - дуже важливий навик в математиці.




Метод 1 з 3: Імовірність незалежного події

  1. 1

    Порахуйте загальне число окремих рівноймовірно результатів експерименту. Нехай це число дорівнює n.

  2. 2

    Порахуйте число окремих результатів, що призводять до цікавить вас події. Нехай це число дорівнює ne.

  3. 3

    Обчисліть відношення ne/ N. Це і буде ймовірністю даної події.

  4. 4

    Приклад:"Знайдіть ймовірність випадання парного числа при киданні кубика"
    • Експеримент: підкидання гральної кістки
    • Подія: випадання парного числа
    • Кроки, описані вище:
      1. Окремі результати - випадання 1, 2, 3, 4, 5, 6 їх загальна кількість n = 6
      2. Результати, що призводять до події: 2, 4, 6. Це всі парні числа, які можуть випасти, їх кількість ne= 3
      3. Вірогідність: P = ne/ N = 3/6 = 0,5 або 1/2

Метод 2 з 3: Імовірність незалежних подій, що відбуваються разом / одночасно

  1. 1

    Знайдіть ймовірність кожної події окремо.

  2. 2

    Помножте окремі ймовірності, щоб знайти ймовірність одночасного походження подій.

  3. 3

    Приклад:"Впадає кубик, підкидається монета, обертається рулетка з цифрами від 1 до 5. Знайдіть ймовірність спільних подій: випадання цифри 3 кубики, орла монети і цифри 4 на рулетці".
    1. Окремі ймовірності:
      1. Випадання цифри 3 кубика: P1 = 1/6 (згідно вище описаного методу)
      2. Випадання решки монети: P2 = 1/2
      3. Цифра 4 рулетки: P3 = 1/5
    2. Загальна ймовірність: P = P1* P2* P3 = 1/6 * 1/2 * 1/5 = 1/60

Метод 3 з 3: Імовірність взаємозалежних подій

  1. 1

    Обчисліть ймовірність першого події. Майже у всіх випадках є одне або кілька подій, від яких залежать інші. Такі події слід розглядати в першу чергу. Оскільки вони є незалежними, їх ймовірність знаходиться так, як було описано вище.

  2. 2

    Визначте зміни в умовах експерименту, які привнесе виконання першої події. Як правило, виконання першої події або зменшує, або збільшує число можливих результатів експерименту.

  3. 3

    Розрахуйте ймовірність другої події (події, безпосередньо залежить від виконання першої події, або наступного відразу за ним), користуючись описаним у першому розділі методом, з урахуванням змін, викладених у 2 розділі.

  4. 4

    Для послідовних подій повторюйте кроки 2 і 3, враховуючи при розрахунку ймовірностей наступних подій зміни, привнесені попередніми подіями.

  5. 5

    Перемножте всі знайдені вами ймовірності, знайшовши таким чином загальну ймовірність взаємозалежних подій.



  6. 6

    Приклад:"Є мішок з 5 зеленими, 2 червоними і 3 синіми кулями. Яка ймовірність того, що ви випадковим чином дістанете з нього два синіх, а потім один червоний куля?"
    1. Перша подія: діставання синьої кулі (першого з двох, які необхідно вийняти з мішка)
      1. Окремі результати експерименту: 5 зелених + 2 червоних + 3 синіх = 10 куль
      2. Результати, соотвествующие потрібного події: 3 синіх кулі
      3. P1 = 3/10
    2. Зміни після першої події: число можливих результатів стало 5 зелених + 2 червоних + 2 синіх = 9 куль.
    3. Друга подія: вибір синьої кулі, одного з двох, що залишилися, відбудеться з вірогідністю 2 синіх кулі / 9 куль = 2/9
    4. Зміни після другої події: число можливих результатів стало 5 зелених + 2 червоних + 1 синій = 8 куль
    5. Третя подія: виймання червоної кулі з імовірністю 2 червоних кулі / 8 куль = 1/4
    6. Загальна ймовірність: Ptotal = P1* P2* P3 = 3/10 * 2/9 * 1/4 = 6/360 = 1/60


Терміни та визначення

  • Незалежні події - дві події, які не впливають один на одного. Наприклад, кидання кубика ніяк не впливає на результати кидання другого кубика або підкидання монети.
  • Взаємозалежні події - події, що впливають один на одного. Наприклад, якщо з мішка дістається кульку, яка не замінюється аналогічним, це впливає на те, який кулька буде вийнято з мішка наступним.
  • Експеримент - набір умов і дій, при яких відбувається подія. Іншими словами, це сукупність дій з певними об`єктами, що призводять до здійснення деяких подій. Наприклад, підкидання монети, метання кубика, виймання кулі з мішка, або навіть поїздка на автомобілі. Обставини експерименту визначаються конкретним завданням.
  • Умови - це набір об`єктів, що використовуються в експеріменте- наприклад, кубик, дві монети, 6 зелених куль, автомобіль, шосе. Вони також визначаються конкретним завданням.

Поради

  • При розрахунку взаємозалежних подій легко заплутатися. Нерідко корисно уявити послідовність подій і вплив, вироблене ними на умови експерименту, у вигляді якої-небудь схеми.
  • Звертайте пильну увагу на кожне слово в постановці завдання. Особливу увагу приділяйте наступним ключовим словами, повністю розуміючи їх значення в контексті завдання:
    • І, або, не, але
    • Все, для кожного, для всіх
    • Крім
    • "Принаймні", "найбільш"
    • "С", "без"
    • "Тільки якщо", "в тому і тільки в тому випадку", "якщо"