Як знайти математичну ймовірність
Обчислення ймовірностей - дуже важливий навик в математиці.
Кроки
Метод 1 з 3: Імовірність незалежного події
1
Порахуйте загальне число окремих рівноймовірно результатів експерименту. Нехай це число дорівнює n.2
Порахуйте число окремих результатів, що призводять до цікавить вас події. Нехай це число дорівнює ne.3
Обчисліть відношення ne/ N. Це і буде ймовірністю даної події.4
Приклад:"Знайдіть ймовірність випадання парного числа при киданні кубика"- Експеримент: підкидання гральної кістки
- Подія: випадання парного числа
- Кроки, описані вище:
- Окремі результати - випадання 1, 2, 3, 4, 5, 6 їх загальна кількість n = 6
- Результати, що призводять до події: 2, 4, 6. Це всі парні числа, які можуть випасти, їх кількість ne= 3
- Вірогідність: P = ne/ N = 3/6 = 0,5 або 1/2
Метод 2 з 3: Імовірність незалежних подій, що відбуваються разом / одночасно
1
Знайдіть ймовірність кожної події окремо.2
Помножте окремі ймовірності, щоб знайти ймовірність одночасного походження подій.3
Приклад:"Впадає кубик, підкидається монета, обертається рулетка з цифрами від 1 до 5. Знайдіть ймовірність спільних подій: випадання цифри 3 кубики, орла монети і цифри 4 на рулетці".- Окремі ймовірності:
- Випадання цифри 3 кубика: P1 = 1/6 (згідно вище описаного методу)
- Випадання решки монети: P2 = 1/2
- Цифра 4 рулетки: P3 = 1/5
- Загальна ймовірність: P = P1* P2* P3 = 1/6 * 1/2 * 1/5 = 1/60
- Окремі ймовірності:
Метод 3 з 3: Імовірність взаємозалежних подій
1
Обчисліть ймовірність першого події. Майже у всіх випадках є одне або кілька подій, від яких залежать інші. Такі події слід розглядати в першу чергу. Оскільки вони є незалежними, їх ймовірність знаходиться так, як було описано вище.2
Визначте зміни в умовах експерименту, які привнесе виконання першої події. Як правило, виконання першої події або зменшує, або збільшує число можливих результатів експерименту.3
Розрахуйте ймовірність другої події (події, безпосередньо залежить від виконання першої події, або наступного відразу за ним), користуючись описаним у першому розділі методом, з урахуванням змін, викладених у 2 розділі.4
Для послідовних подій повторюйте кроки 2 і 3, враховуючи при розрахунку ймовірностей наступних подій зміни, привнесені попередніми подіями.5
Перемножте всі знайдені вами ймовірності, знайшовши таким чином загальну ймовірність взаємозалежних подій.6
Приклад:"Є мішок з 5 зеленими, 2 червоними і 3 синіми кулями. Яка ймовірність того, що ви випадковим чином дістанете з нього два синіх, а потім один червоний куля?"- Перша подія: діставання синьої кулі (першого з двох, які необхідно вийняти з мішка)
- Окремі результати експерименту: 5 зелених + 2 червоних + 3 синіх = 10 куль
- Результати, соотвествующие потрібного події: 3 синіх кулі
- P1 = 3/10
- Зміни після першої події: число можливих результатів стало 5 зелених + 2 червоних + 2 синіх = 9 куль.
- Друга подія: вибір синьої кулі, одного з двох, що залишилися, відбудеться з вірогідністю 2 синіх кулі / 9 куль = 2/9
- Зміни після другої події: число можливих результатів стало 5 зелених + 2 червоних + 1 синій = 8 куль
- Третя подія: виймання червоної кулі з імовірністю 2 червоних кулі / 8 куль = 1/4
- Загальна ймовірність: Ptotal = P1* P2* P3 = 3/10 * 2/9 * 1/4 = 6/360 = 1/60
- Перша подія: діставання синьої кулі (першого з двох, які необхідно вийняти з мішка)
Терміни та визначення
- Незалежні події - дві події, які не впливають один на одного. Наприклад, кидання кубика ніяк не впливає на результати кидання другого кубика або підкидання монети.
- Взаємозалежні події - події, що впливають один на одного. Наприклад, якщо з мішка дістається кульку, яка не замінюється аналогічним, це впливає на те, який кулька буде вийнято з мішка наступним.
- Експеримент - набір умов і дій, при яких відбувається подія. Іншими словами, це сукупність дій з певними об`єктами, що призводять до здійснення деяких подій. Наприклад, підкидання монети, метання кубика, виймання кулі з мішка, або навіть поїздка на автомобілі. Обставини експерименту визначаються конкретним завданням.
- Умови - це набір об`єктів, що використовуються в експеріменте- наприклад, кубик, дві монети, 6 зелених куль, автомобіль, шосе. Вони також визначаються конкретним завданням.
Поради
- При розрахунку взаємозалежних подій легко заплутатися. Нерідко корисно уявити послідовність подій і вплив, вироблене ними на умови експерименту, у вигляді якої-небудь схеми.
- Звертайте пильну увагу на кожне слово в постановці завдання. Особливу увагу приділяйте наступним ключовим словами, повністю розуміючи їх значення в контексті завдання:
- І, або, не, але
- Все, для кожного, для всіх
- Крім
- "Принаймні", "найбільш"
- "С", "без"
- "Тільки якщо", "в тому і тільки в тому випадку", "якщо"