Як застосовувати теорему Піфагора

Теорема Піфагора пов`язує три сторони прямокутного трикутника однією формулою, якою користуються досі. Теорема свідчить, що в прямокутному трикутнику сума квадратів катетів дорівнює квадрату гіпотенузи: a + b = c, де a і b - катети трикутника (сторони, пересічні під прямим кутом), с - гіпотенуза трикутника. Теорема Піфагора може застосовуватися в багатьох випадках, наприклад, за допомогою цієї теореми легко знайти відстань між двома точками на координатній площині.




Метод 1 з 2: Знаходження сторін прямокутного трикутника

  1. 1

    Переконайтеся, що даний вам трикутник є прямокутним, так як теорема Піфагора застосовна тільки до прямокутного трикутника. У прямокутних трикутниках один з трьох кутів завжди дорівнює 90 градусам.
    • Прямий кут у прямокутному трикутнику позначається значком у вигляді квадрата, а не у вигляді кривої, яка позначає непрямі кути.

  2. 2

    Позначте сторони трикутника. Катети позначте як «а» і «b» (катети - сторони, пересічні під прямим кутом), а гіпотенузу - як «с» (гіпотенуза - найбільша сторона прямокутного трикутника, що лежить навпроти прямого кута).

  3. 3

    Визначте, яку сторону трикутника потрібно знайти. Теорема Піфагора дозволяє знайти будь-яку сторону прямокутного трикутника (якщо відомі дві інші сторони). Визначте, яку сторону (a, b, c) необхідно знайти.
    • Наприклад, дана гіпотенуза, що дорівнює 5, і дано катет, рівний 3. У цьому випадку необхідно знайти другий катет. Ми повернемося до цього прикладу пізніше.
    • Якщо дві інші сторони невідомі, необхідно знайти довжину однієї з невідомих сторін, щоб мати можливість застосувати теорему Піфагора. Для цього використовуйте основні тригонометричні функції (якщо вам дано значення одного з непрямих кутів).

  4. 4

    Підставте у формулу a + b = c дані вам значення (або знайдені вами значення). Пам`ятайте, що a і b - це катети, а с - це гіпотенуза.
    • У нашому прикладі напишіть: 3? + B? = 5 ?.

  5. 5

    Зведіть в квадрат кожну відому сторону. Або ж залиште ступеня - ви можете звести числа в квадрат пізніше.
    • У нашому прикладі напишіть: 9 + b? = 25.

  6. 6

    Обособьте невідому сторону на одній стороні рівняння. Для цього перенесіть відомі значення на іншу сторону рівняння. Якщо ви знаходите гіпотенузу, то в теоремі Піфагора вона вже відособлена на одній стороні рівняння (тому робити нічого не потрібно).
    • У нашому прикладі перенесіть 9 на праву сторону рівняння, щоб відокремити невідоме b ?. Ви отримаєте b? = 16.

  7. 7

    Вийміть квадратний корінь з обох частин рівняння після того, як на одній стороні рівняння присутній невідоме (в квадраті), а на іншій стороні - вільний член (число).
    • У нашому прикладі b? = 16. Вийміть квадратний корінь з обох частин рівняння і отримаєте b = 4. Таким чином, другий катет дорівнює 4.

  8. 8

    Використовуйте теорему Піфагора в повсякденному житті, так як її можна застосовувати у великому числі практичних ситуацій. Для цього навчитеся розпізнавати прямокутні трикутники в повсякденному житті - в будь-якій ситуації, в якій два предмета (або лінії) перетинаються під прямим кутом, а третій предмет (або лінія) з`єднує (по діагоналі) верхівки двох перших предметів (або ліній), ви можете використовувати теорему Піфагора, щоб знайти невідому сторону (якщо дві інші сторони відомі).
    • Приклад: дана сходи, притулені до будівлі. Нижня частина сходів знаходиться в 5 метрах від основи стіни. Верхня частина сходів знаходиться в 20 метрах від землі (вгору по стіні). Яка довжина сходів?
      • «В 5 метрах від основи стіни» означає, що а = 5 «знаходиться в 20 метрах від землі» означає, що b = 20 (тобто вам дано два катета прямокутного трикутника, так як стіна будівлі і поверхня Землі перетинаються під прямим кутом ). Довжина сходів є довжина гіпотенузи, яка невідома.
        • a? + B? = C?
        • (5)? + (20)? = C?
        • 25 + 400 = c?
        • 425 = c?
        • с = v425
        • с = 20,6. Таким чином, приблизна довжина сходів дорівнює 20,6 метрів.

Метод 2 з 2: Обчислення відстані між двома точками на координатній площині

  1. 1

    Виберіть дві точки на координатній площині. За теоремою Піфагора можна обчислити довжину відрізка, що з`єднує дві точки на координатній прямій. Для цього необхідно знати координати (х, у) кожної точки.
    • Щоб знайти відстань між двома точками, ви будете розглядати точки в якості вершин трикутника, що не прилеглих до прямого кута прямокутного трикутника. Таким чином, ви зможете легко знайти катети трикутника, а потім обчислити гіпотенузу, яка дорівнює відстані між двома точками.



  2. 2

    Нанесіть точки на координатну площину. Відкладіть координати (х, у), де координата «х» відкладається по горизонтальній осі, а «у» - по вертикальній. Ви можете знайти відстань між точками без побудови графіка, але графік візуалізує процес ваших обчислень.

  3. 3

    Знайдіть катети трикутника. Ви можете зробити це, вимірявши довжину катетів безпосередньо на графіку або за допомогою формул: | x1 - x2| Для обчислення довжини горизонтального катета, і | y1 - y2| Для обчислення довжини вертикального катета, де (x1,y1) - Координати першої точки, а (x2,y2) - Координати другої точки.
    • Приклад: дано точки: А (6,1) і В (3,5). Довжина горизонтального катета:
      • | X1 - x2|
      • | 3 - 6 |
      • | -3 | = 3
    • Довжини вертикального катета:
      • | Y1 - y2|
      • | 1 - 5 |
      • | -4 | = 4
    • Таким чином, в прямокутному трикутнику а = 3 і b = 4.

  4. 4

    Використовуйте теорему Піфагора для знаходження гіпотенузи. Відстань між двома точками дорівнює гіпотенузі трикутника, дві сторони якого ви тільки що знайшли. Використовуйте теорему Піфагора, щоб знайти гіпотенузу, підставивши в формулу знайдені значення катетів (a і b).
    • У нашому прикладі а = 3 і b = 4. Гіпотенуза обчислюється таким чином:
      • (3)? + (4)? = C?
        c = v (9 + 16)
        c = v (25)
        c = 5. Відстань між точками А (6,1) і В (3,5) дорівнює 5.

Поради

  • Гіпотенуза завжди:
    • лежить навпроти прямого кута.
    • є найдовшою стороною прямокутного трикутника.
    • позначається як «с» в теоремі Піфагора.
  • v (х) означає «квадратний корінь з х».
  • Не забувайте перевіряти відповідь. Якщо відповідь здається неправильним, виконайте обчислення знову.
  • Якщо дано звичайний трикутник (а не прямокутний), то потрібно більше інформації, ніж просто довжини двох сторін.
  • Ще один момент - найдовша сторона лежить навпроти найбільшого кута, а найкоротша сторона - навпаки найменшого кута.
  • Графіки є наочним способом нанесення позначень а, b і с. Якщо ви вирішуєте задачу, то в першу чергу побудуйте графік.
  • Якщо дана довжина тільки однієї сторони, то теорему Піфагора застосовувати не можна. Спробуйте використовувати тригонометрію (sin, cos, tan).