Як провести інтерполяцію

Лінійна інтерполяція (або просто інтерполяція) - процес знаходження проміжних значень величини за її відомим значенням. Багато людей можуть провести інтерполяцію, покладаючись виключно на інтуїцію, але ця стаття описує формалізований математичний підхід до проведення інтерполяції.

Кроки

1. 

   1

   Визначте величину, для якої ви хочете знайти відповідне значення. Інтерполяція може бути проведена для обчислення логарифмів або тригонометричних функцій або для обчислення відповідного обсягу або тиску газу при даній температурі. Наукові калькулятори в значній мірі замінили логарифмічні і тригонометричні табліци- тому як приклад проведення інтерполяції ми обчислимо тиск газу при температурі, значення якої не зазначено в довідкових таблицях (або на графіках).
   • У рівнянні, яке ми виведемо, «х» буде позначати відому величину, а «у» - невідому величину (інтерпольоване значення). При побудові графіка ці значення відкладаються відповідно їх позначенням - величина «х» - по осі Х, величина «у» - по осі Y.
   • У нашому прикладі під «х» буде матися на увазі температура газу, що буде дорівнює 37 ° С.







2. 

   2

   У таблиці або на графіку знайдіть найближчі значення, розташовані нижче і вище значення «х». Наша довідкова таблиця не приводить тиск газу при 37 ° С, але призводить значення тиску при 30 ° С і при 40 ° С. Тиск газу при температурі 30 ° С = 3 кПа, а тиск газу при 40 ° С = 5 кПа.
   • Так як ми позначили температуру в 37 ° С як «х», то тепер позначимо температуру в 30 ° С як x₁, а температуру в 40 ° С як x₂.

     

   • Так як ми позначили невідоме (інтерпольоване) тиск газу як «у», то тепер позначимо тиск в 3кПа (при 30 ° С) як у₁, а тиск в 5кПа (при 40 ° С) як у₂.

     





3. 

   3

   Знайдемо інтерпольоване значення. Рівняння для знаходження інтерпольованого значення можна записати у вигляді y = y₁ + ((X - x₁) / (X₂ - x₁) * (Y₂ - y₁))
   • Підставимо значення x, x₁, x₂ і отримаємо: (37-30) / (40-30) = 7/10 = 0,7.

     

   • Підставимо значення у₁, у₂ і отримаємо: (5 - 3) = 2.

     

   • Помноживши 0,7 на 2, отримаємо 1,4. Складемо 1,4 і у₁: 1,4 + 3 = 4,4кПа. Перевіримо відповідь: знайдене значення 4,4кПа лежить між 3кПа (при 30 ° С) і 5кПа (при 40 ° С), а так як 37 ° С ближче до 40 ° С, ніж до 30 ° С, то і остаточний результат (4 , 4кПа) повинен бути ближче до 5кПа, ніж до 3кПа.

     

Поради

• Якщо ви вмієте працювати з графіками, ви можете зробити грубу інтерполяцію, відклавши відоме значення по осі Х і знайшовши відповідне значення на осі Y. У наведеному вище прикладі можна побудувати графік, на якому по осі Х відкладається температура (в десятках градусів), а по осі Y - тиск (в одиницях кПа). На цьому графіку ви можете нанести точку 37 градусів, а потім знайти точку на осі Y, відповідну цій точці (вона буде лежати між точками 4 і 5 кПа). Наведене вище рівняння просто формалізує процес мислення і забезпечує отримання точного значення.
• На відміну від інтерполяції, екстраполяція обчислює приблизні значення величини поза діапазону значень, наведених у таблицях або відображених на графіках.