Як застосувати перетворення Лапласа до якої або функції

Перетворення Лапласа - це інтегральне перетворення, яке дозволяє перетворити диференціальне рівняння в (як очікується) більш просте алгебраїчне рівняння, яке легше вирішити.

Хоча ви можете користуватися таблицями перетворення Лапласа, непогано знати, як самому здійснити це перетворення.

Кроки

1
Визначте, чи потрібно вам знайти одностороннє або двостороннє перетворення Лапласа для функції. Якщо ж вид перетворення Лапласа не вказаний, можна зробити висновок, що вам потрібно знайти одностороннє перетворення.
- Одностороннє перетворення Лапласа визначається так:
- Двостороннє перетворення Лапласа визначається так:
2
Підставте вашу функцію, f (t), у формулу перетворення Лапласа.

Метод 1 з 4: Термінологія

1
"Перетворення Лапласа" - це, зокрема, система перетворення співвідношень в області временн? Го аргументу, в результаті чого отримують рівняння, в яких в якості змінної виступає оператор Лапласа `s`. В результаті, рішення початкової завдання зводиться до "алгебраїчним операціям" в області змінної `s`, або змінною Лапласа, замість временн? Ї області:
- "Застосування перетворення Лапласа аналогічно застосуванню логарифма, з метою спростити деякі види математичних операцій. Обчисливши логарифм, ми перетворюємо числа в показник ступеня числа 10 або е (для натурального логарифма). У результаті цього перетворення, такі математичні дії як множення і ділення, замінюються на додаток і віднімання відповідно ".
2
"Подібним чином, застосовуючи перетворення Лапласа до аналізу систем, які можуть бути описані як лінійні, звичайні диференціальні рівняння, що залежать від часу, ми долаємо деякі зі складностей, що зустрічаються при вирішенні таких рівнянь під временн? Ї області", а також:
- Перетворення Лапласа включає в себе інтегрування від 0 до безкінечності функції часу f (t), отриманої в результаті множення f (t) на e.
- f (t) це ваша функція, яка повинна бути визначена на всьому проміжку, де t позитивне.
- s це комплексна змінна, що визначається за формулою: s = a + j ?, де j = v (-1), так що ви будете почасти використовувати "уявні" числа.
  - Символ i (в електротехніці j) являє v (-1). Тому, наприклад, v (-4) = 2i. Число i, або 1i, або xi називається чисто уявним числом.
- Одне із застосувань комплексній площині відомо як s-площину. Вона використовується, щоб представити корені рівняння, описавши поведінку системи (характеристичного рівняння) графічно. Рівняння, як правило, представлено у формі многочлена з параметром `s` перетворення Лапласа, звідси і назва `s` площину.
  - Для графічного представлення комплексних чисел використовуються діаграми Аргана, представлені на z-площині, де z = x + iy. Z-перетворення може бути використано так само, як і перетворення Лапласа. У математиці, а також при обробці сигналів, Z-перетворення перетворює дискретний сигнал у часовій області, що представляє собою ряд дійсних чи комплексних чисел, в образ в області комплексної частоти. Його можна розглядати як еквівалент перетворенню Лапласа для дискретного часу. Це подобу вивчено в теорії часу. За допомогою білінійної перетворення, комплексна s-площину (перетворення Лапласа) відображається в комплексній z-площині (z-перетворення).
    - Z = a + ib, = re ^ i ?, a = дійсна частина z, b = уявна частина z, r = модуль z,? = Аргумент z, a і b дійсні числа. Хоча це образ (обов`язково) нелінійний, він корисний, оскільки відображає всю j? вісь s-площині в одиничному колі z-площині-то є, це і є вісь j? в області збіжності перетворення Лапласа.

Метод 2 з 4: Рішення перетворення

1
Виконайте перетворення Лапласа, використовуючи інтегрування по частинах. Залежно від вашої функції, f (t), вам, можливо, знадобиться здійснити інтегрування частинами кілька разів, щоб знайти інтеграл повністю.
Якщо ви шукайте двостороннє перетворення Лапласа, замініть межа 0 на -?

2
Визначте межі отриманого результату. Запишіть рівняння, підставивши замість t нескінченність, потім запишіть рівняння зворотне перше, цього разу, підставивши 0 замість t. Спростіть їх наскільки можливо, пам`ятаючи про наступні величинах:
3
Перевірте правильність вашої відповіді, скориставшись таблицею перетворень Лапласа.

Метод 3 з 4: Розривне функція

Розривна функція може бути записана так:

, де c - константа, a і b можуть бути як константами, так і функціями t. Хоча наведена тут функція складається лише з двох частин, їх може бути будь-яке кінцеве кількість.

1
Випишіть суму перетворень Лапласа кожної частини розривної функції, використовуючи вказані межі замість звичайних 0 і?.
2
Знайдіть перетворення Лапласа як показано вище. Не забудьте використовувати правильні межі замість 0 і?.
У цьому прикладі передбачається, що a і b константи, результат був би набагато складніше, якби вони були функціями t
3
Спростите результат наскільки це можливо.
У цьому прикладі передбачається, що a і b константи, результат був би набагато складніше, якби вони були функціями t

Метод 4 з 4: Застосування властивостей перетворення Лапласа

1
Спробуйте отримати перетворення Лапласа для функції, якщо вона дуже схожа на одну або більше інших функцій, перетворення для яких вам уже відомо. Наприклад:
- Перетворення Лапласа для лінійної комбінації функцій дорівнює лінійної комбінації перетворень Лапласа цих функцій.
- Перетворення Лапласа для tf (t) дорівнює -F `(s), де F (s) - це перетворення Лапласа для f (t), а F` (s) - його похідна (Доказ).
- Перетворення Лапласа для f `(t) дорівнює sF (s) -f (0).
- Перетворення Лапласа для e ^ (at) f (t) дорівнює F (sa).
- Перетворенням Лапласа згортки двох функцій f і g є твір перетворень Лапласа цих функцій.
2
Використовуйте різні відомі властивості перетворень Лапласа, щоб отримати перетворення Лапласа дотримуючись наведених вище кроків. Корисно також знати зміст, що лежить в основі кожної властивості.
3
Розгляньте наступне спрощене загальне твердження:"Перетворення Лапласа для f (t) дорівнює функції F змінної s", і напишіть:laplace {f (t)} = F (s)
- Подібним чином, перетворення Лапласа для функції g (t) записується так: laplace {g (t)} = G (s)

Поради

Перетворення Лапласа застосовуються в математиці, фізиці, оптиці, електротехніці, техніці автоматичного управління, обробці сигналів і теорії ймовірності. Воно було розроблено приблизно в 1782 році в процесі роботи над теорією ймовірності. У фізиці воно використовується для аналізу лінійних систем, таких як електричні схеми, гармонійні осцилятори, оптичні прилади і механічні системи.